L'enseignement
du
Système métrique
I.
PRÉAMBULE
1
• HISTORIQUE SOMMAIRE
Pour
remédier à la diversité et à l'anarchie des mesures utilisées en
France, l'Assemblée constituante avait décidé, en 1790,
d'en constituer un système cohérent et unique. Une
Commission avait imaginé de définir:
une
unité de longueur, appelée mètre,
liée
à la longueur du méridien de la terre, mesuré à cet effet; ce
méridien valant 40
000 000 m;
une
unité de masse1,
le gramme,
égale
à la masse du volume de l'eau distillée
contenue
dans
un cube de 1 centimètre (centième du mètre) de côté, à la
température
de 4
degrés
centigrades:
une
unité
de capacité,
le litre,
de
volume égal à celui d'un cube, d'un décimètre
de côté, ou de 1 000
centimètres cubes);
une
unité
de valeur, le franc,
valeur
de 5 g
d'argent,
au titre de 4
dixièmes d'argent
fin.
En
outre, elle avait adopté pour unités secondaires les
multiples et les sous-multiples décimaux de
ces unités principales et elle les avait désignées par les
préfixes qui nous sont maintenant familiers : déca,
hecto, kilo; déci,
centi, milli (abréviations : da, h, k; d, c, m). Elle y avait ajouté
myria (ma) qui a été peu utilisé. Par contre, on utilise
actuellement méga
(M) et micro (μ),
pour désigner un million et un millionième.
À
ce système étaient encore rattachées des unités de surface et de
volume, constituées par un carré et un cube de 1
mètre de côté.
Les
savants de la Commission de 1790,
en définissant ainsi les unités par des constantes terrestres
(longueur du méridien) et physiques (poids spécifique de l'eau),
espéraient leur donner une valeur immuable et facilement repérable.
En réalité la précision de leurs mesures, qui était pourtant déjà
remarquable, a été dépassée depuis et on a constaté que les
unités n'étaient pas ainsi suffisamment définies, ni suffisamment
constantes. On a remplacé les définitions physiques, au moins
provisoirement2,
par l'existence d'étalons, mètre
et
kilogramme,
à peu
près égaux à ceux qui avaient été établis en 1795, conservés
dans un Service international, à Sèvres. Des copies en existent
dans les divers États et peuvent
être vérifiées périodiquement. En France, un Service des poids
et mesures contrôle méthodiquement les instruments de mesure en
usage dans le commerce et l'industrie.
On
sait que le franc n'est plus fixé par un poids de métal précieux,
mais que les transactions se font avec des pièces de monnaie et des
billets, dont la valeur est garantie par l'état.
Les
besoins de la physique et de la mécanique ont exigé la définition
d'une unité de temps ou de durée, qui est la seconde,
liée actuellement au mouvement de
la terre. Des unités de longueur, masse et temps dérivent des
unités mécaniques : de vitesse, d'accélération, de force, de
travail, de puissance... ainsi que des unités électriques. Des
Congrès internationaux périodiques étudient les modifications
qu'il y a lieu d'apporter à leurs définitions, en tenant compte des
besoins nouveaux de la science et de la technique.
 |
| source de la photo : http://caddereputation.over-blog.com/article-pourquoi-je-ne-veux-pas-de-vos-indicateurs-de-mesure-60575127.html |
2
• NOTATIONS
Que
faut-il retenir de ces considérations pour l'enseignement à l'école
primaire ?
1.
— Les unités de longueur, de masse (pratiquement confondue avec
celle de poids),
de capacité
et de valeur sont fixées pour toute la France, et même pour de
nombreuses
contrées du
monde.
2.
— Les unités secondaires en sont
des multiples et sous-multiples décimaux et
il en résulte que toute mesure peut être
exprimée par un nombre décimal, qui devient
un nombre entier
par un changement convenable d'unité.
3.
— Il
en est de même
pour les unités de surface et de volume, toutefois le rapport
entre deux unités successives est de 100
ou 1 000 (au lieu de 10).
4.
— Les unités secondaires de temps ne sont pas des multiples
décimaux de la seconde; la minute vaut 60
secondes, l'heure vaut 60
minutes et le jour est de 24
heures. On compte cependant en sous-multiples décimaux de la seconde
(dixièmes. centièmes, millièmes) et il est assez fréquent de
calculer en sous-multiples décimaux de l'heure et de la minute,
qu'on transforme ensuite en minutes, ou en secondes (voir le Calcul
au Cours moyen, VII, « Temps et durées
»).
Il
existait encore jusque ces dernières années certaines divergences
d'écriture et de notations. La circulaire du 13 août 1952 a
prescrit une «normalisation», ou, en quelque sorte, une
orthographe. Son texte, intégralement reproduit au début de ce
cahier, peut être résumé dans les règles suivantes :
un
nombre entier est écrit en tranches de trois chiffres, séparées
par un espace blanc, sans point;
cette
règle est valable, dans l'écriture d'un nombre décimal, comportant
une virgule, pour le nombre à gauche de la virgule (partie entière)
et le nombre à droite (chiffres décimaux);
3
850 363,018
s'entend et se lit : 3 millions, 85o mille, 363 (unités), 18
millièmes.
Les
noms des unités (et leurs abréviations) à utiliser à l'école
primaire sont seulement ceux qui sont fixés par la circulaire.
m
(km, hm, dam, m, dm, cm, mm);
m2
(km2,
dm2,
cm2,
mm2;
éventuellement dam2,
hm2);
a, ha, ca;
m3
(drn3,
cm3);
st: l (hl, dal,
l, dl, cl);
g
(kg, hg, dag,
g, dg, cg, mg); q; t
Les
unités de temps, qui ne sont plus décimales, sont désignées par
les abréviations : s (seconde); mn (minute); h (heure).
Les
unités, pour les grandeurs obtenues par quotients des grandeurs
précédentes, sont désignées, avec le mot par,
ou avec une barre (de quotient)
inclinée (VII, 4)
vitesse
= longueur/temps ;
km/h ; km/mn ; km/s ;
poids
spécifique =
poids/volume ; g/cm3
; kg/l
il
nous semble désirable d'étendre cette notation à des exemples qui
ne sont pas cités dans la circulaire :
F
par m; F par km; F par kg; F par 1; F par h;
pour
les rendements des cultures : q par ha; hl par a;
pour
les débits : m3
par h; l par mn.
Certaines
grandeurs, moins utilisées à l'école primaire, sont formées par
des produits; les unités sont réunies, soit par le signe x , soit
sans signe : le travail, produit d'une puissance par un temps, est
exprimé en wattheures, Wh.
Un travail peut être aussi considéré comme le produit d'un poids
transporté par la longueur du transport : tonnes kilométriques, ou
t x km.
Le
nom de l'unité,
ou son abréviation sans indication
de pluriel, est placé à la droite du nombre complet (c'est-à-dire
encore à droite de ses chiffres décimaux); cette unité se rapporte
donc au chiffre qui précède la virgule à gauche (VII, 5).
Quoiqu'il
n'y ait pas d'indication de lecture dans la circulaire, on peut
recommander de lire une mesure décimale comme il a déjà été dit
ci-dessus pour un nombre abstrait (voir aussi le Calcul
au Cours moyen,
III, 10)
:
15,02
l
s'entend
et se lit 15 litres et 2 centilitres;
3.12
m3
s'entend et se lit 3 mètres cubes et 120
décimètres cubes (le dernier chiffre
décimal, 2, écrit
ne correspond pas à un sous-multiple utilisé du mètre cube).
II.
COURS ÉLÉMENTAIRE
3 • LA MATIÈRE A ENSEIGNER
Les
textes officiels de 1923 prescrivaient
pour le cours élémentaire l'étude du mètre, du litre, du gramme
et de leurs multiples et recommandaient, lorsqu'on étudiait la
numération décimale et que l'on avait affirmé :
«
Dix unités valent une dizaine »,
d'ajouter
sans retard les exemples :
«
Dix mètres valent un décamètre, dix grammes valent un décagramme
», afin que « le système légal des mesures, système décimal,
appuie la leçon sur la numération ».
Ainsi
l'étude de la dizaine, celle de la centaine, celle du mille se
trouvaient liées respectivement à l'étude du décamètre, du
décalitre et du décagramme; de l'hectomètre, de l'hectolitre et de
l'hectogramme; du kilomètre et du kilogramme, bien que certaines de
ces unités ne soient jamais utilisées pratiquement : l'arpenteur
emploie certes un instrument de mesure appelé décamètre, mais qui
donc a jamais acheté ou vendu des décamètres ou des hectomètres
de fil ou de tissu ? De même, qui donc a jamais livré des
décalitres de vin, des décagrammes ou des hectogrammes de viande ?
Pourquoi, dès lors, imposer à des débutants la connaissance
d'unités théoriques que l'on n'emploie jamais dans la vie courante
et dont l'intervention
dans une première étude du système métrique, bien loin de
conférer un caractère concret, ne parvient qu'à la rendre purement
formelle?
D'autre
part, ce mode de répartition, qui consiste à réserver les
«sous-multiples pour
le programme du Cours moyen, procède d'une conception logique,
certes, mais qui
méconnaît, et la possibilité de
familiariser l'enfant du cours élémentaire
avec ces unités pratiques que sont le millimètre,
le centimètre
et le centilitre,
et la nécessité
de faire employer celles-ci, puisque
l'enfant de sept ans a plus
souvent l'occasion de mesurer des longueurs de l'ordre du millimètre
ou du centimètre3
et des capacités de l'ordre du centilitre que des longueurs ou des
capacités
respectivement de l'ordre du kilomètre ou de l'hectolitre. On nous
objectera que les
nombres décimaux ne doivent pas intervenir au Cours élémentaire :
nous répondrons
que faire mesurer les dimensions d'un livre en centimètres ou la
capacité d'un
verre en centilitres n'entraîne nullement le recours aux nombres
décimaux :
l'enfant écrira 23 cm, 18 cl, etc. Et ceci nous amène à faire
remarquer combien
il est nécessaire de considérer le millimètre, le centimètre, le
mètre et le kilomètre; le centilitre, le litre et l'hectolitre; le
gramme et le kilogramme, tous
comme
des unités, le choix de l'une d'elles n'étant motivé que par la
nécessité de recourir à une unité en rapport avec la grandeur à
mesurer (on n'exprime pas en kilomètres les dimensions d'un livre,
pas plus qu'on n'exprime en millimètres la distance de Paris à
Marseille).
Les
modifications apportées par les Programmes
et les Instructions
officielles de 1945 procèdent à coup
sûr de préoccupations identiques à celles que nous venons
d'exposer :
«
Le programme du 17 octobre 1945
indique,
non pas toutes les unités théoriques du système métrique, mais
seulement les unités
pratiquement utilisées :
on
sait que l'usage courant exclut à
peu près complètement l'emploi du décimètre, du décamètre, de
l'hectomètre, du décilitre, du décalitre, du kilolitre, du
décigramme, etc.
Aux unités effectives indiquées, il faudra ajouter au Cours
moyen, ou en fin de deuxième année du Cours élémentaire : le
millimètre, le centimètre cube (remplaçant le millilitre), le
décimètre cube (équivalent au litre), le mètre cube (remplaçant
le kilolitre), le milligramme, le quintal, la tonne, le centime et
peut-être le mille et le million de francs » (Instructions
officielles du
7 décembre 1945).
D'ailleurs
« l'étude de la numération de 1 à 100, puis de ioo à r 000, le
comptage par milliers, se feront en liaison avec l'étude des unités
usuelles du
système métrique » (Programmes
du 17
octobre 1945).
Ainsi
:
— les
expressions multiples et sous-multiples disparaissent : il n'est plus
question que des unités usuelles
suivantes
:
—
le recours exclusif aux seules unités usuelles permet de donner aux
exercices
et aux problèmes un caractère
pratique et réellement concret;
—
les exercices
de conversion purement formels entre
unités non usuelles disparaissent (l'enfant peut avoir à convertir
un nombre de grammes en kilogrammes, un nombre d'hectolitres en
litres, mais on ne doit plus lui demander de convertir 4 hm 3 dam en
décimètres ni 5 dal 2 dl en décilitres...).
4
• LA
LIAISON AVEC L'ÉTUDE DE LA NUMÉRATION
L'étude
du système métrique étant ainsi réduite à celle des seules
unités usuelles,
comment
peut-on concevoir la liaison entre la numération et le système
métrique ?
Il
ne peut plus être question de fonder la notion
de dizaine sur
l'étude préalable du décamètre, du décalitre, du décagramme,
pas plus que la notion
de centaine ne
peut être fondée sur l'étude préalable de l'hectomètre, de
l'hectolitre et de l'hectogramme, etc. Dans la mesure où ces
décamètre, décalitre, décagramme, hectomètre, hectogramme... ne
sont que des unités non usuelles, que des unités théoriques, la
base que leur étude constituait dans certains manuels pour fonder la
notion de dizaine, de centaine... n'était qu'une base
pseudo-concrète et, pédagogiquement parlant, un trompe-l’œil.
Le
seul moyen dont disposent les maîtres pour concrétiser
de
façon réellement pratique les dizaines, centaines, mille, etc.,
réside dans le recours
aux billets de
dix francs, de cent francs, de mille francs.
Écrire
et dire à l'enfant qu'il dispose de :
2
hm 3 dam 5 m de ficelle,
3
hl 5 dal 8 l de vin,
5
hg 4 dag 5 g de sucre,
est
absolument artificiel et sans valeur concrète.
Mais
inventorier le contenu d'un portefeuille, écrire et dire qu'il
contient :
Billets
de cent francs
|
Billets
de dix francs
|
Pièces
de un franc
|
2
|
3
|
5
|
7
|
4
|
2
|
est
un exercice pratique et réellement concret qui permet à l'enfant de
comprendre l'écriture des nombres de trois chiffres.
Il
apparaît que le rôle des unités
usuelles du système métrique (mesures
de longueur, de capacité, de poids) n'est pas de constituer une
illustration concrète de la relation décimale qui permet de passer,
dans notre système de numération, d'une unité à la suivante,
puisque si, entre ces unités usuelles, existent des rapports
simples, ceux-ci n'ont pas une valeur constante
La
liaison entre numération et système
métrique est d'une autre nature :
—
d'une part, jusqu'à son entrée au
Cours élémentaire, l'enfant comptait, additionnait, soustrayait...
des collections d'objets réels, ou simplement désignés : gommes,
fruits, crayons, chapeaux, etc. Désormais, l'enfant pourra aussi
additionner, soustraire... des longueurs exprimées en mètres,
centimètres, kilomètres, des capacités, des poids : ses calculs
pourront donc s'exercer dans un champ d'activité plus vaste et moins
puéril;
—
d'autre part, la notion de centaine ayant
été acquise à l'aide de billets et
d'objets manipulés et comptés, cette
notion trouvera son application et non son introduction dans les
relations :
1
m = 100
cm; 1 l = 100
cl; 1 hl = 100
l, etc.,
qui
pourront être posées et comprises sans que l'enfant ait eu à faire
intervenir les unités théoriques : décimètre, décilitre,
décalitre (la notion de mille trouve des applications analogues);
—
enfin, et de façon réciproque en quelque
sorte, la manipulation et la comparaison des unités usuelles, mètre
et centimètre, litre et centilitre, fournissent à l'enfant une
illustration concrète à postériori des relations ci-dessus et, par
voie de conséquence, de la notion de centaine préalablement
acquise. (Nous formulerons des remarques analogues au sujet de la
notion de mille.)
La
notion de multiplication qui consistait à réunir un certain nombre
de collections contenant toutes un même nombre d'objets (compter le
nombre des mains de huit élèves ou doubler une collection de
billes) deviendra plus générale quand il s'agira de chercher la
valeur d'une quantité dont on connaît la mesure ou la valeur de son
unité. Cette notion s'étendra même au cas où la mesure servant de
multiplicateur sera un nombre décimal (Cours moyen; III, 13).
5
• SURFACE
D'UN RECTANGLE
Le
programme du cours élémentaire comporte le calcul de la surface
d'un rectangle, dont les côtés sont exprimés en cm, ou en m (bien
entendu en nombres entiers). Il s'agit évidemment de regarder le
dessin d'un carrelage (en centimètres carrés) et de constater que
l'aire est constituée par la « réunion » d'un certain nombre de
carrés de 1
cm de côté, par exemple 3 bandes de chacune 5 carrés, aussi bien
que 5 colonnes de chacune 3 carrés. Cette constatation est, en même
temps, une illustration graphique de la commutativité : 5 x 3 est
égal à 3 x 5.
Les
enfants habitués déjà à regarder une carte peuvent imaginer que
le dessin représente une surface plus grande, un centimètre
représentant un mètre; ceci suffit sans doute pour faire comprendre
qu'en multipliant les dimensions en mètres d'un rectangle, on
obtient sa surface, ou son aire, ou sa superficie, en mètres carrés.
Ce
calcul, appliqué à un carré d'un décimètre, puis d'un mètre de
côté, établit la relation entre les trois unités cm2,
dm2,
m2,
dont l'étude devra être reprise, plus méthodiquement, au Cours
moyen.
Le
calcul de surfaces peut être aussi complété par quelques notions
pratiques; on peut évaluer la surface de la classe en mètres
carrés,
la
longueur et la largeur étant arrondies en mètres. On peut comparer
avec le calcul en dm2.
III.
COURS MOYEN
6
• LA
MATIÈRE A ENSEIGNER
Le
recours aux pièces de monnaie et aux billets de dix, cent, mille,
dix mille francs a permis de faire comprendre aux enfants du Cours
élémentaire les principes
de la numération décimale. Il ne peut nous être de la même
utilité pour introduire l'usage de ces nombres décimaux dont
l'emploi est prévu par les programmes du Cours moyen, puisque les
pièces de 1
décime et de 1
centime ne sont plus employées.
Aussi
nous faudra-t-il dans ce cours utiliser toutes
les unités décimales du système métrique (unités
pratiques et unités théoriques) pour faire comprendre ce que sont
les nombres décimaux. Mais le maître ne doit pas oublier que :
—
dans les données et les résultats
des
problèmes, il vaut mieux se borner aux seules
unités pratiques
(Instructions,
Cours
élémentaire, III, 2);
— et
que les nombres décimaux, «
complétés au besoin par des zéros, doivent correspondre à des
unités pratiques » (ibid.);
c'est
ainsi qu'on n'écrira pas 7 dm, mais 0,70 m ou 70 cm; ni 0,4
hg, mais 0,040
kg ou 40
g; ni
3,5 m3,
mais 3,500
m3.
C'est
donc uniquement parce que l'emploi de la totalité des unités
décimales du système métrique constitue l'irremplaçable
et
donc l'indispensable
moyen
de faire comprendre ce que sont les
nombres décimaux,
que
les enfants, au sortir du Cours élémentaire, doivent étudier la
série complète des unités de longueur, de capacité et de poids.
Compte
tenu de ce qui précède, il convient donc au Cours moyen de ménager
une place importante aux exercices de conversion, mais il doit être
bien entendu qu'il ne peut s'agir que de passer d'une unité
pratique usuelle à une autre unité pratique usuelle (les
exercices de conversion entre unités théoriques sont purement
formels et doivent être proscrits ou tout au moins très limités).
7
• SYSTÈME
MÉTRIQUE ET NOMBRES DÉCIMAUX
Mesures
de longueur
(Voir
le Calcul
au Cours moyen,
II, 6 et
III, 10.)
— Recherchons comment on peut introduire l'emploi
des nombres décimaux et
procéder aux changements
d'unité,
à
propos de l'étude des mesures
de longueur,
lorsque
l'élève a une connaissance suffisante des diverses unités.
1.
—
Mesurons la distance de la grille de l'école à la mairie. Supposons
que nous trouvions que cette distance est 24 fois la longueur d'une
chaîne d'arpenteur et 5 m :
2
hm 4 dam et 5 m
Nous
pourrons indiquer le résultat de la mesure :
—
soit
en utilisant le tableau ci-dessous dont les colonnes correspondent,
lorsqu'on va vers la gauche, à des unités de 10
en10
fois plus fortes.
TABLEAU
I
km
|
hm
|
dam
|
m
|
dm
|
cm
|
mm
|
0
|
2
|
4
|
5
|
0
|
0
|
0
|
—
soit plus simplement en
écrivant :
245
m (nombre entier).
2.
— Mesurons la longueur de la table. Nous trouvons 1
double mètre et 75 cm :
2
m 7 dm 5 cm
Nous
pourrions indiquer les résultats de la mesure :
—
soit
en utilisant le tableau suivant :
TABLEAU
II
km
|
hm
|
dam
|
m
|
dm
|
cm
|
mm
|
0
|
0
|
0
|
2
|
7
|
5
|
0
|
— soit
plus simplement en écrivant.: 2,75 m.
2,75
m est un nombre décimal : on
le lit 2 mètres 75 cm.
La
virgule est
un simple repère qui
indique où se trouve le chiffre des mètres (chiffre situé
immédiatement à gauche de la virgule) et, par conséquent, le
chiffre des décimètres, celui des centimètres, celui des
décamètres, celui des hectomètres, etc.
3.
— Changement d'unité. Si, pour exprimer la mesure précédente, on
veut utiliser le décimètre comme unité, le repère, c'est-à-dire
la virgule, sera placé après le 7 →
27,5 dm : on obtient encore un nombre
décimal.
Si
on utilise le centimètre comme unité, on écrira →
275 cm : on obtient cette fois un nombre
entier.
Mesures
de capacité
On
procédera de la même façon que précédemment lorsque l'élève
connaîtra bien les diverses unités employées pour la mesure des
longueurs.
1.
— Mesurons la capacité d'un récipient en puisant l'eau qu'il
contient avec des mesures. Supposons que nous trouvions 1
hectolitre 3 décalitres et 2 litres. Nous indiquerons le résultat
de la mesure :
—
soit en utilisant le tableau suivant :
hl
|
dal
|
l
|
dl
|
cl
|
ml
|
1
|
3
|
2
|
0
|
0
|
0
|
—
soit simplement en écrivant : 132
litres (nombre entier).
2.
— Mesurons la capacité d'une tasse. Supposons que nous trouvions 1
décilitre et 6 centilitres.
Nous
indiquerons le résultat de la mesure :
—
soit
en utilisant le tableau suivant :
hl
|
dal
|
l
|
dl
|
cl
|
ml
|
0
|
0
|
0
|
1
|
6
|
0
|
—
soit plus simplement en écrivant :
o,16 l.
0,16
l est un nombre
décimal : on lit 0
litre 16
centilitres.
La
virgule est
encore un simple repère qui
indique où se trouve le chiffre des litres et, par voie de
conséquence, les chiffres correspondant aux diverses unités.
3.
— Changement d'unité (Calcul
au Cours moyen,
III, 11).
— Le résultat de la mesure peut être encore écrit 1,6
dl, qui est encore un nombre décimal, ou 16
cl qui est un nombre entier.
Mesures
de poids
On
procédera de façon analogue lorsque les élèves connaîtront bien
toutes les unités employées pour les mesures de poids.
Règles
générales
On
peut rassembler les études faites pour chacune de ces trois
grandeurs en rappelant quelques termes généraux du vocabulaire et
quelques conventions d'écriture. Les mesures :
2,7
m; 0,16 1; 12,075 kg;
sont
des nombres décimaux.
L'abréviation,
qui suit le nombre complet, indique l'unité correspondant au nombre
qui précède la virgule (à gauche) et qui est appelé partie
entière
:
2
m; 0 l; 12
kg.
Les
chiffres qui suivent la virgule (à droite) sont appelés chiffres
décimaux; le nombre qu'ils forment est la partie
décimale,
elle
représente un sous-multiple de l'unité (dixième, ou centième, ou
millième, suivant qu'il y a 1,
ou 2, ou 3 chiffres décimaux)
7
dm; 16
cl; 075 g ou 75 g.
Un
nombre est la somme de sa partie entière et de sa partie décimale;
on le lit d'ailleurs :
2
m et
7
dm; 16 cl; 12 kg et
75
g.
(Dans
le second cas, on peut lire, à volonté, 0
litre et 16
centilitres, ou seulement 16
centilitres.)
On
peut encore résumer les exercices de changement d'unité en une
règle (voir le Calcul
au
cours
moyen,
III, 11).
Quand
on remplace l'unité par sa dizaine, ou sa centaine..., il faut
déplacer la virgule de un, ou deux, ou ... rangs vers la gauche;
quand
on remplace l'unité par son dixième, ou son centième, ou ..., il
faut déplacer la virgule de un, ou deux, ou ... rangs vers la
droite.
Ceci
peut exiger l'introduction de zéros lorsque le nombre des chiffres
est insuffisant.
On
peut rapprocher cette règle de celle de la multiplication, et de la
division d'un nombre par 10,
ou 100,
ou ...; ou 0,1,
ou 0,01, ou …
8
• MESURE
DES SURFACES
Unités
On
a dû étudier au Cours élémentaire la surface d'un rectangle en
cm2
et en m2.
On peut se servir de cette première notion, éventuellement révisée,
pour préciser au Cours moyen les relations entre les unités, du m2
au km2,
chacune étant contenue 100
fois dans la suivante. On fait ainsi plus ou moins explicitement un
calcul des puissances de 10,
qui peut donner une idée des grands nombres : un million de mm2
dans un m2;
mille milliards dans un km2
(100
ha). On utilise à peu
près comme synonymes
surface, aire et superficie (plus spécialement réservé aux
champs).
Il
est bon de se rendre compte de quelques particularités de notations
qui nous sont familières, mais qui ne sont pas « évidentes » pour
les enfants. L'exposant 2 (imposé par la circulaire) est une
abréviation d'une multiplication (cm2
pour cm x cm); l'indication du multiple ou sous-multiple ne porte pas
sur la mesure elle-même, mais sur le côté du carré qui la définit
(il serait plus correct d'écrire (cm)2
ou
ou cm2).
L'expression de la multiplication :
cm
x cm = 0,01
m x 0,01
m = (0,01
x 0,01)
m2 =
0,0001 m2
met
en évidence les rapports des unités qui sont des puissances de 100
et non de 10.
Dans
l'expression d'une mesure décimale de surface, un changement d'unité
entraîne le déplacement de la virgule de
2, ou 4, ou 6,
... rangs; alors que la multiplication, ou la division par 10,
ou 100, ..., ou
encore par 0,1,
ou 0,01, ...
n'entraîne
toujours que le déplacement de 1,
ou 2, ... rangs.
On
a conservé l'usage de noms spéciaux pour certaines mesures de
superficie des champs; ces mesures sont cependant rattachées aussi
au mètre. L'are,
en abrégé a, est une surface de 1
dam2,
c'est-à-dire d'un carré de 10
m de côté. Mais les abréviations des multiples et sous-multiples
portent cette fois sur l'unité de surface (et non sur le côté du
carré) :
un
hectare, ou ha, est égal à 100
ares, ou 10 000
m2, ou
1 hm2;
un
centiare, ou ca, est égal à 0,01
are, ou 1 m2.
On
n'utilise que ces deux unités secondaires : on pourrait bien
construire un carré d'une surface de 10
ares, mais son côté ne serait pas mesuré par un nombre décimal
exact de mètres; c'est environ 31,623 m,
à 1 mm près,
par défaut.
Surfaces
de rectangles
La
règle de changement d'unité permet de montrer que le calcul de la
surface d'un rectangle, obtenue en multipliant les mesures de ses
côtés, reste vraie si ces mesures sont des nombres décimaux. Il
faut que ces nombres soient, bien entendu, exprimés avec la même
unité et que la surface soit exprimée avec la surface du carré
dont le côté est cette unité de longueur.
Pour
l'établir, il suffit de changer d'unités, de façon que les mesures
des côtés deviennent des nombres entiers; on revient ensuite à
l'unité primitive; la règle du placement de la virgule coïncide
avec la règle de ce placement dans la multiplication des nombres
décimaux :
2,5
m = 25 dm; 3,6 m = 36 dm; 25 dm x 36 dm = 900
dm2;
900
dm2
= 9,00 m2; 2,5
m x 3,6 m = 9,00
m2.
Dans
l'énoncé du calcul d'une surface de rectangle par une
multiplication, on peut écrire les facteurs sous forme de mesures
(un nombre, suivi du nom de l'unité); chacun d'eux joue le rôle de
multiplicateur pour l'autre. Cette notation n'est pas imposée par la
circulaire de 1952, mais elle semble conforme à son esprit. (La
longueur d'un côté est le quotient de la division de la surface par
la longueur de l'autre côté.)
Au
calcul de surfaces de rectangles peuvent se rattacher des exercices
ou des problèmes usuels, qui font intervenir, plus ou moins,
l'associativité de l'addition (suite d'additions et de
soustractions). La peinture des murs (rectangulaires) d'une salle,
dont on déduit les surfaces des ouvertures (portes et fenêtres,
également rectangulaires), en est un exemple pratique. On peut
calculer la surface brute des murs, ce qui est une somme de
rectangles, puis en retrancher les surfaces des ouvertures, soit
après les avoir préalablement additionnées. soit successivement,
soit encore pour chaque mur. D'autres problèmes analogues sont
fréquents : superficie cultivable d'un jardin rectangulaire dans
lequel on a tracé des allées parallèles aux côtés; aires de
fondations (obtenues par déduction du rectangle intérieur, ou par
somme des rectangles de pourtour); surfaces de sections de fers
profilés, en cornière, en T, en I.
Le
pavage
d'une
pièce (rectangulaire) avec des carreaux carrés peut avoir une
première solution approchée en divisant la surface de la pièce par
celle d'un carreau et en prenant le
quotient par excès. On obtient une meilleure solution en
divisant (à une unité près par défaut) les côtés du rectangle
par le côté du carreau. On peut alors calculer le nombre de
carreaux qui peuvent être placés entiers, la surface recouverte et,
par soustraction, la surface qu'il faudra paver en morceaux de
carreaux; on peut vérifier, en décomposant en rectangles cette
surface restante.
Surfaces
du triangle et du trapèze rectangles
Les
deux triangles rectangles, découpés dans un rectangle par une
diagonale, sont « égaux
géométriquement
», c'est-à-dire
sont superposables, ce qu'il semble facile de vérifier et
d'expliquer. On admet aisément que leurs aires sont, par suite,
égales; chacune d'elles est alors la moitié
de
l'aire du rectangle. Il en résulte la formule bien connue4:
surface
d'un triangle rectangle = 1/2
x côté x côté.
Bien
entendu, les côtés sont exprimés avec la même unité et la
surface est exprimée
en unité correspondante.
Le
calcul est une règle de trois, avec le dénominateur 2. On peut
remplacer la
fraction 1/2
par sa valeur décimale 0,5;
on peut, indifféremment :
multiplier
les côtés et prendre la moitié du produit;
multiplier
un des côtés par la moitié de l'autre.
En
coupant un rectangle non plus par une diagonale, mais par une droite
passant par le centre, on le partage en deux trapèzes rectangles
égaux géométriquement, ce qui donne la formule :
surface
d'un trapèze rectangle = 1/2 (somme des
bases) x hauteur
Cette
formule comprend comme cas particulier la formule précédente de la
surface du triangle (une des bases est nulle; la droite qui coupe le
rectangle est une diagonale du rectangle).
On
peut encore, soit prendre la moitié du produit, soit multiplier la
demi-somme des bases par la hauteur, soit multiplier la somme des
bases par la moitié de la hauteur. On peut aussi justifier ces
diverses formules par des tracés appropriés, mettant en évidence
des égalités géométriques de figures.
Quoique
l'étude de ces surfaces ne figure pas explicitement au programme,
les maîtres estimeront sans doute qu'il faut enseigner les formules
connues de la surface d'un triangle5
et d'un trapèze (quelconque), d'un parallélogramme et d'un losange.
Il
semble peut-être plus intéressant (comme l'indiquent les
Instructions,
IV, 13)
de faire calculer les surfaces de polygones découpés en triangles
rectangles et trapèzes rectangles, ainsi qu'il est d'usage en
arpentage. Il n'y a même que des avantages à faire calculer ainsi
la surface d'un triangle, décomposé en une somme (ou en une
différence) de deux triangles rectangles.
9
• MESURE
DES VOLUMES
Unités
Il
n'est sans doute
pas inutile de faire voir aux élèves, sur un modèle convenablement
aménagé
(Matériel,
VIII)
qu'un cube de 1
décimètre
de côté contient 10
couches formées chacune de 100 cubes de 1
cm de côté. On en conclut que chacune des trois unités de volume :
m3,
dm3,
cm3,
contient 1000
fois la suivante.
Les
particularités indiquées pour les unités de surfaces restent
analogues pour les unités de volume : l'exposant 3 désigne une
multiplication de 3 longueurs ou d'une longueur et d'une surface. Un
changement d'unité entraîne le déplacement de 3 ou 6 rangs de la
virgule.
Une
seule unité, le stère
(st),
égale à 1
m3,
subsiste concurremment aux unités précédentes, pour la mesure des
bois de chauffage. On peut expliquer son maintien par l'usage d'un
gabarit uniforme adopté pour les longueurs des bûches et la hauteur
des tas (en général 1
m),
en sorte que le volume en stères est exprimé par le même nombre
que la longueur du tas (en m).
Parallélépipède
rectangle et prisme droit
Le
partage d'un parallélépipède rectangle en cubes est analogue au
pavage d'un rectangle en carrés. Le volume est ainsi calculé, soit
par le produit (de la multiplication, dans un ordre quelconque) des
longueurs de ses trois arêtes, soit
par le produit de la surface d'une de ses faces par la longueur de
l'arête perpendiculaire. (L'égalité des trois produits obtenus par
ce deuxième calcul est une conséquence de l'associativité de la
multiplication. Voir le Calcul
au Cours moyen,
IV,
15.)
La
deuxième formule reste vraie pour le volume d'un prisme droit
(obtenu en élevant des perpendiculaires d'une même longueur, à une
surface plane de base). On peut décomposer le prisme en couches de
même épaisseur, parallèles à la base et elles-mêmes décomposées
en cubes. On peut aussi bien décomposer le prisme en
parallélépipèdes de même hauteur, dont les bases sont des carrés
égaux qui pavent la base du prisme6.
(Un parallélépipède rectangle étant un prisme droit de trois
façons différentes, on retrouve ainsi les trois formules
précédentes.)
Il
est utile de donner des exemples de prismes dont la base n'est pas
dans un plan horizontal (silo; hangar dont la base est le pignon;
fers profilés...).
Pour
des « couches » prismatiques, de base horizontale, l'épandage
donne des exemples pratiques de prismes dont le volume est connu et
dont on cherche, soit la surface, soit l'épaisseur (jouant le rôle
d'arête perpendiculaire), connaissant l'autre donnée. Ceci peut
poser, bien entendu, des questions de changement d'unité (cm pour
l'épaisseur; m2,
ou are, pour la surface).
Le
cylindre droit peut être assimilé à un prisme droit, de base
circulaire.
Capacités
et poids spécifiques
Le
litre et le décimètre cube ont le même volume; le poids de ce
volume d'eau (distillée et à la température de 4°) est égal à 1
kilogramme.
On
en déduit aisément les correspondances d'unités secondaires
(volumes, capacités et poids d'eau). Les plus importantes sont :
mètre
cube; 10
hectolitres; 1
tonne;
décimètre
cube; 1
litre; 1
kilogramme;
centimètre
cube; 0,1
centilitre; 1
gramme;
On
a signalé le poids
spécifique comme
un des exemples importants de valeur de l'unité (Le
Calcul au Cours moyen,
IV,
17) et comme une unité formée par le quotient d'un poids par un
volume (ci-dessus, 2. — «Notations», p. 131).
On
appelle parfois densité
le
rapport du poids d'un corps au poids d'un volume égal d'eau. C'est
alors un nombre abstrait, indépendant des unités choisies. Il est
représenté par le même nombre que le poids spécifique, quand on
exprime ce dernier en prenant pour unité de poids le poids de l'eau
contenue dans l'unité de volume :
t
par m3;
ou kg par dm3;
ou kg par 1;
ou g par cm3.
On
estimera sans doute que.
au Cours moyen. il
suffit de constater l'égalité des nombres qui expriment les poids
spécifiques avec l'une de ces trois unités, de dire que ce
nombre
est aussi appelé densité et que pour l'eau il est égal à 1.
Les
applications du poids spécifique résultent, bien entendu, de la
règle (de proportionnalité) :
poids
d'un corps = poids spécifique x volume;
et
des règles de division qui en résultent (calcul d'un volume ou
détermination d'un poids spécifique). L'emploi des notations
préconisées peut éviter des erreurs de virgule.
Un
flacon gradué, une balance et une boîte de poids permettent
quelques mesures de poids spécifique, par exemple d'eau salée,
qu'on peut alors contrôler par le calcul d'après la proportion de
sel (voir Programme
des leçons de choses).
IV.
MÉTHODE ET PROCÉDÉS
D'ENSEIGNEMENT
DU
SYSTÈME METRIQUE
Pour
conduire l'enfant — que celui-ci soit élève de Cours élémentaire
ou qu'il soit élève de Cours moyen — à la connaissance du
système
métrique,
il
n'est qu'une méthode : familiariser cet enfant avec les instruments
de mesure et
avec les diverses
unités pratiques en
le faisant procéder à de nombreux
exercices de mesure.
1.
—
Au Cours
élémentaire, il convient d'abord —
comme on l'a déjà fait au cours
préparatoire pour les bandes graduées en centimètres — de faire
confectionner
des instruments de mesure rudimentaires par
l'élève : ficelles nouées tous les dix centimètres, puis graduées
en centimètres, lattes de bois de un mètre, chaînes ou rubans
d'arpentage, balances simplifiées, lames de carton ou de métal
pesant 1g,
2 g, 5
g..., sachets de sable pesant 100
g, 200
g,
500
g..., etc.; récipients gradués en litres, en centilitres... En
fabriquant ou en utilisant ces instruments grossiers, l'enfant
saisira intuitivement le sens du mot unité
et
celui des expressions : longueur égale
à une
autre longueur ou à une juxtaposition de longueurs, poids égal à
un autre poids ou à une réunion de poids, capacité égale
à une
autre capacité ou à plusieurs capacités. — Et lorsque le maître
mettra de vrais mètres, une vraie chaîne d'arpenteur, une vraie
balance et de vrais poids, de vraies mesures de capacité entre les
mains de l'enfant, celui-ci ne témoignera ni surprise ni embarras.
2.
—
Au Cours élémentaire, au Cours moyen, — comme plus tard en Classe
de fin d'études, — il importe
que l'enfant utilise fréquemment les instruments de mesure, et les
utilise bien.
Le
maître veillera en particulier à ce que les bandes graduées
souples soient bien tendues; à ce que l'origine de la bande graduée
ou de la règle graduée, dans le cas où l'on porte plusieurs fois
de suite cette bande ou cette règle le long d'une dimension à
mesurer, coïncide bien avec la position qu'occupait l'autre
extrémité de l'instrument lors de l'application précédente; à ce
que l'aiguille de la balance occupe bien la position qui correspond à
l'équilibre, à ce que le niveau du liquide dont on mesure le volume
soit repéré correctement par rapport aux graduations du contenant,
etc.
3.
—
Les exercices de mesure doivent
être autant que possible dépourvus de caractère formel; ils
doivent être « motivés »,
et
non constituer une fin en soi :
—
c'est
parce qu'on veut obtenir des fiches d'un certain format qu'on dessine
et qu'on découpe des rectangles de telles dimensions;
—
c'est
parce qu'on veut confectionner un modèle réduit de bateau ou
d'avion qu'on procède aux mesures permettant d'obtenir telle pièce
de contreplaqué de dimensions données;
—
c'est
parce qu'on veut calculer la superficie du jardin qu'on mesure les
dimensions de celui-ci;
—
c'est
parce qu'on veut mesurer les hauteurs de pluie qu'on gradue une
éprouvette en centimètres cubes;
— c'est
parce qu'on veut connaître le poids du charbon que contient le seau
de la classe, la capacité d'une lessiveuse, qu'on procède aux
mesures indispensables.
Ainsi
l'enseignement du système métrique doit-il être étroitement relié
à la vie courante,
aux
activités locales,
à l'étude du milieu.
4.
—
À
l'occasion des exercices de mesure nombreux et variés qu'on lui
propose, l'élève doit être entraîné à faire un choix opportun
d'unités, c'est-à-dire d'unités
pratiques telles
que les nombres exprimant les mesures ne soient ni trop grands ni
trop petits. (Un pas de 75 cm; un film de 35 mm de largeur; une
distance de 35 km; un saut de 1,25 m; un morceau de fromage pesant
210 g; une provision de charbon de 5 tonnes; une réserve de 250
kg de pommes de terre; une bouteille de 80
cl; une barrique de 2 hl, etc.)
5.
—
L'élève doit naturellement être
entraîné à « changer d'unité pratique »,
à passer,
par exemple, de l'expression en centilitres de la quantité de vin
nécessaire au remplissage de 180 bouteilles de 75 cl, à
l'expression de cette quantité de vin en hectolitres : 1,35 hl.
6.
—
L'élève doit connaître l'ordre
de grandeur de la longueur ou du poids d'objets courants, de la
capacité de récipients usuels, etc. Cette
connaissance des ordres de grandeur a une
grande importance pour la vie
pratique,
et,
en outre, elle permet éventuellement de déceler les grossières
erreurs de calcul, notamment les erreurs
de virgule : un enfant qui a trouvé
pour poids d'un stère de chêne 57,6 kg ne
manquera pas de recommencer ses calculs
s'il sait que l'ordre de grandeur
de poids est
600 kg).
7.
—
L'élève doit
être entraîné également à apprécier à vue d’œil
des longueurs, des capacités
et, en les soupesant, le poids de différents objets. Ces
exercices
d'appréciation, d'estimation
ne prendront toute leur valeur que s'ils sont suivis
fréquemment
des contrôles indispensables.
8.
—
Enfin il faut dès l'école familiariser l'élève avec cette
représentation figurée
des grandeurs à
laquelle
recourent maintenant si fréquemment, non seulement
les manuels scolaires de géographie, mais aussi les journaux, et
dont est d'ailleurs prescrite expressément par les programmes de la
classe de fin
d'études.
Cette
représentation figurée est obtenue en faisant correspondre aux
grandeurs des
segments de droite, des bandes, des secteurs de cercle, des
silhouettes, etc., de dimensions
convenables.
9.
—
Tout
ce qui vient d'être dit au sujet de la méthode et des procédés
d'enseignement
du système métrique montre de façon évidente que cet enseignement
doit être relié au dessin et
au travail manuel (tracé,
confection et graduation d'instruments de mesure, quadrillage d'un
mètre carré en décimètres carrés, d'un décimètre carré en
centimètres carrés, confection d'un mètre cube et de décimètres
cubes, confection de jalons, de fiches, de poids, d'une balance
rudimentaire, détermination
d'un poids spécifique, etc.). Le nombre et l'importance des travaux
pratiques de système métrique sont
tels qu'il est très souvent nécessaire de leur réserver une partie
au moins des séances d'activités
dirigées. Cette
nécessité est particulièrement impérieuse en ce qui concerne les
travaux pratiques de système métrique dans la Classe de fin
d'études.
Est-il
besoin d'ajouter que c'est dans le cadre des «activités
dirigées»
que
doivent être organisées les « classes
promenades
» consacrées
au système métrique : observation des arpenteurs, de l'installation
du pont-bascule, des postes distributeurs d'essence et d'huile du
garage voisin, etc., des balances automatiques des commerçants.
10.
—
En ce qui concerne les exercices oraux ou écrits de système
métrique, rappelons qu'il faut sans doute, pour monter les
mécanismes nécessaires, ménager une place aux exercices
de conversion. Rappelons
une fois encore qu'au Cours élémentaire il convient, lors de ces
exercices, de ne faire intervenir que des unités
pratiques :
on
ne demandera pas de convertir 75 décalitres en décilitres; en
revanche. on cherchera, par exemple, quelle est, exprimée en litres,
la
contenance d'un fût
de 5 hl, quel est, exprimé en grammes,
le
poids d'un morceau de viande de 2 kg.
Au
Cours moyen, pour les raisons que nous avons données, on pourra
faire intervenir, lors des exercices de conversion, toutes les
unités, qu'elles soient pratiques ou non.
Mais
on doit se garder de croire que ces indispensables exercices de
conversion suffisent. Dans la mesure même où l'on veut « motiver
» les
exercices de système métrique,
on doit faire de ceux-ci un moyen
et non
une fin en soi :
moyen de
trouver la longueur d'une clôture pour calculer le prix de celle-ci;
moyen de
trouver le poids total d'un certain nombre de rations de viande pour
calculer le prix de revient d'un repas, etc., ou bien encore moyen
de
passer de la contenance exprimée
en mètres cubes d'une citerne à essence à la capacité en litres
de cette même citerne
en vue d'un calcul de vente d'essence; moyen de connaître, après
avoir calculé
en mètres carrés l'aire
d'un champ, la valeur en hectares
de
celui-ci en vue de rechercher le prix du champ vendu 250
000 F l'hectare par
exemple, etc. Aussi
l'exercice
« motivé » de système métrique doit-il
le plus souvent s'intégrer dans
un problème d'arithmétique ou
de géométrie.
1.
En
réalité, la Commission de 1790 avait défini, non pas une unité
de masse,
mais
bien une unité
de poids,
c'est-à-dire
de la force exercée par la terre sur l'unité de masse. Dans la
pratique des mesures avec une balance, on peut confondre masse et
poids, puisque leurs mesures, relativement à des poids marqués
sont les mêmes. Mais en toute rigueur, le poids d'une masse de un
gramme (cm3
d'eau) mesurée non plus par comparaison, mais avec un peson à
ressort, varie légèrement avec la latitude, en raison de la
rotation de la Terre et de son aplatissement aux pôles. Dans une
même région, ce poids dépend même de la nature du sous-sol et
c'est un des moyens utilisés par la prospection minière.
2.
On
a essayé plusieurs fois déjà, de définir l'unité de longueur
par une constante lumineuse (longueur d'onde).
3.
Les
programmes de 1945
prescrivent de faire utiliser par les élèves du C. P. le décimètre
gradué
en centimètres.
4.
On
remarquera que cette formule ne résulte pas d'une formation du
triangle avec l'unité de surface, c'est-à-dire d'un pavage en
carrés égaux. On peut cependant chercher à paver un triangle avec
des carrés de côtés de plus en plus petits, de dixième en
dixième. Par exemple, pour un triangle rectangle isocèle,
de 1
dm de côté, la surface est comprise entre :
45
et 55 carrés de 1 cm de côté ;
4
950 et 5 050 carrés de 1 mm de côté ;
499
950 et 500 050 carrés de 0,1 mm de côté
En
dm2,
la surface est ainsi comprise entre 0,45 et 0,55;
mais aussi entre 0,495
et 0,505,
et entre 0,499 95 et 0,500
05.
On peut en conclure qu'elle est égale à 0,50
dm2.
Ce
n'est là, bien entendu, qu'un renseignement qui n'est pas destiné
à l'enseignement dans les classes, mais à ceux des lecteurs qui
s'intéresseraient aux questions de rigueur; ils pourront comparer
ce raisonnement à quelques-unes des démonstrations couramment
employées pour établir la formule du volume d'une pyramide.
5.
Cependant
l'expression de la surface d'un triangle a l'inconvénient de faire
intervenir, sous le nom de « base », un des côtés arbitrairement
choisi, que les élèves ont une tendance à figurer parallèle aux
lignes de leur cahier. Des élèves, même plus âgés, ont quelque
peine à se rendre compte que les trois produits d'un côté par la
hauteur correspondante sont des nombres égaux.
6.
L'un
ou l'autre de ces raisonnements suppose qu'il est possible de paver
la base du prisme avec des carrés. Cela est toujours possible,
approximativement, avec des carrés assez petits (voir note sur la
surface du triangle).
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