Progressions par quotient

progression de raison 6 ; source : http://www.tonbusiness.com/profiles/blogs/les-banques-sontelles-des#.UHxfWa6tmYE

progression géométrique 2°, 2^1, 2^2, 2^3 ; source : http://www.creativitequebec.ca/Bulletin_Creativite_Quebec/Site_CQ_Bulletins_2011/Bulletins_jeux_creativite/Jeu_no.5_a_beaute_mathematique.htm

Voici une progression d’un autre genre, dont la raison est 2.

Chacun de ses termes reproduit celui qui le précède, non plus augmenté de la raison, mais multiplié par elle.

C’est une série de multiplications, tandis que l’autre était une série d’additions. Il en résulte que dans tous les cas où nous opérons par soustraction avec la progression par différence, on opère par division avec celle-ci : de là son nom de Progression par quotient.

Vous voyez comment elle s’écrit. Au lieu d’un point au dessus et au dessous de la barre qui la précède, ainsi qu’entre chacun des termes, on en met deux.

Étant donnés le premier terme et la raison d’une progression par quotient, on obtiendra le quatrième, pour en choisir un, en multipliant le premier par le cube de la raison ou par la raison multipliée 3 fois par elle-même.

2 X 2 = 4 X 2 = 8

3 X 8 = 24

Nous prenons notre exemple dans la progression par quotient que vous venez de voir. Pour obtenir le cinquième terme, il faudrait multiplier le premier par la raison élevée à la quatrième puissance, c’est-à-dire multipliée 3 fois par elle-même.

2 X 2 = 4 ; 4 X 2 = 8 ; 8 X 2 = 16

3 X 16 = 48

Et ainsi de suite pour n’importe quel terme, c’est-à-dire qu’il faudrait multiplier le premier terme par la raison multipliée autant de fois par elle-même qu’il y aurait de termes avant celui que l’on veut obtenir.

Il en résulte qu’étant donnés la raison et n’importe quel terme d’une progression par quotient, on obtient le premier en divisant le terme connu par la raison multipliée par elle-même autant de fois qu’il y a de termes avant :

quatrième terme : 2³, ou 8 ; 24 : 8 = 3

cinquième terme : 2⁴, ou 16 ; 48 : 16 = 3.

Ceci posé qu’une progression par quotient est une série de nombres multipliés par celui qui s’appelle sa raison, il devient facile de trouver cette raison, quand on a deux termes d’une progression, avec leur numéro d’ordre.

Soit 96, sixième terme de notre proportion, et 12, son troisième terme.

Nous savons que 96 est le produit final de trois multiplications successives de 12 par la raison cherchée, en d’autres termes % le produit de 12 multiplié par le cube de la raison. Nous sommes donc certains d’obtenir ce cube en divisant 96 par 12 :

96 : 12 = 8

8 est le cube de 2, qui est la raison cherchée.

On obtient donc la raison d’une progression par quotient dont on connaît deux termes, en divisant le plus grand par le plus petit, et extrayant la racine du quotient à la puissance indiquée par le chiffre des termes intermédiaires.

Nous avons vu que dans la progression par différence, le total des deux termes extrêmes est constamment égal au total de deux autres termes pris à égale distance, l’un du premier, l’autre du dernier. Il en est de même, et en vertu du même raisonnement, pour le produit respectif de ces termes dans la progression par quotient.

Prenons nos exemples dans la progression sur laquelle nous avons opéré jusqu’à présent :

96 X 3 = 288

48 X 6 = 288

24 X 12 = 288

Et, en effet, 48 est 2 fois plus petit que 96; mais 6 est deux fois plus grand que 3. Le produit de la seconde multiplication devra donc être 2 fois plus petit, d’une part, et 2 fois plus grand, de l’autre, que celui de la première. Il sera donc égal à ce produit.

Il en sera de même pour 24, 2 fois plus petit que 48, et 12, 2 fois plus grand que 6, et pour tous les termes quelconques d’une proportion par quotient pris, deux à deux, dans l’ordre qui vient d’être indiqué.

L’on a imaginé, pour obtenir, sans les additionner, la somme des termes d’une progression par quotient, un procédé fort ingénieux, qui mérite les honneurs de l’explication, bien qu’elle soit un peu longue à donner.

suit la progression suivante, dont la raison est 4 :

Multipliez chacun de ses termes par sa raison, vous aurez la progression nouvelle que voici :

dont le total contiendra nécessairement 4 fois celui de la première puisque chacun de ses termes sera 4 fois plus fort.

Alignez les deux séries de nombres en mettant l’un sous l’autre ceux qui leur sont communs ; et biffez-les à la fois sur les deux lignes

Que vous reste-t-il des deux progressions ? 6, le premier terme de l’une, et 6.144, le dernier de l’autre, lesquels n’ont pas de correspondants. La ligne du bas contenait 4 fois celle du haut avant le retranchement des termes communs. Il est évident qu’après ce retranchement elle le contiendra encore 3 fois, plus 6 qui n’a pas été biffé.

6,144, le seul terme qui reste de la nouvelle progression, contient donc, à lui seul, 3 fois la première, plus 6, son premier terme, et qu’est-ce que 6.144 ? le produit de la multiplication de 1.536, la dernier terme de cette progression, par sa raison 4.

Retranchez 6 de 6.144, et divisez le reste par 3, vous obtiendrez nécessairement le total des termes de la première progression.

6.144 — 6 = 6.138

6.138 : 3 = 2.046

2.046 est bien le total qu’il s’agissait de trouver, et il est facile de faire la preuve de notre opération, en additionnant les 5 termes de la progression primitive :

Il suffisait donc, pour obtenir, sans les additionner, la somme des termes de cette progression :

1° De multiplier son dernier terme 1.536 par sa raison 4;

2° De retrancher 6, son premier terme, de 6.144, produit de cette multiplication;

3° De diviser le reste par 3, c’est-à-dire par sa raison diminuée d’une unité.

La marelle à suivre sera la même pour toute progression par quotient. La division finale devra se faire par 4, si la raison est 5, par 7, si elle est 8, etc., en la diminuant toujours d’une unité, puisque le retranchement des termes communs aux deux lignes de nombres dans toute opération analogue à celle que nous venons de faire aura toujours pour résultat que la ligne du bas contiendra ensuite celle du haut une fois de moins.

La progression par différence perte aussi le nom de progression arithmétique, la progression par quotient celui de progression géométrique.

En quoi l’une est-elle arithmétique, l’autre géométrique ? il serait difficile de le dire. C’est à cause de cela que nous n’avons pas cru devoir nous servir pour la démonstration de noms dont nous n’aurions pas su motiver l’emploi.

Comme l’usage lui a donné force de loi, il faut être en mesure de les reconnaître quand on les rencontrera. Rappelez-vous donc que les termes de la progression arithmétique vont toujours en s’augmentant du nombre qui est sa raison, et ceux de la progression géométrique en se multipliant par ce nombre.