24 novembre 2011

La Cinquième Opération : le Rapport à l'Unité

Comptes ; mesures ; rapports.

Chapitre 15 de l'Initiation mathématique de C.-A. Laisant


 Nous avons vu, depuis le début, que ce que nous nous proposons constamment, c’est de compter et de mesurer. Si nous avons devant nous un tas de grains de blé, et si nous trouvons, en les comptant, qu’il y en ait 157, ce nombre, comme nous l’avons fait remarquer déjà, pourra aussi bien nous servir à représenter une collection de jetons, d’allumettes, d’arbres, de moutons ou de n’importe quoi. Si pour déterminer une longueur nous avons pris des bâtonnets tous pareils les uns au bout des autres et si nous en avons trouvé 157 pour mesurer cette longueur, nous disons qu’elle est de 157 bâtonnets. Dans tous ces divers cas, nous ne pourrions rien évaluer si nous n’avions pas l’idée d’un grain de blé, d’un jeton, d’un arbre, d’un mouton, d’un bâtonnet.

Le nombre n’a de raison d’être que par la comparaison qu’il amène avec l’objet unique (grain de blé, jeton, etc.) sans lequel on ne pourrait le former, et cet objet unique est appelé unité. Cette comparaison est ce qu’on appelle un rapport, et cette idée de rapport conduit à dire qu’un nombre est simplement le rapport de la collection avec l’unité.

Il est d’autant plus nécessaire de bien se mettre dans la tête cette notion-là, que l’unité n’est pas toujours la même. Ainsi, ayant formé des paquets de bâtonnets, prenons-en un tas et comptons-les ; nous en trouvons sept ; sept est le rapport de notre collection de bâtonnets à un paquet, qui est l’unité. Maintenant, éparpillons nos bâtonnets en défaisant les liens des paquets, et comptons ; c’est le bâtonnet qui va devenir l’unité, et nous en compterons septante ; ce nombre sera le rapport de la même collection à un bâtonnet.

De même, prenons trois fagots de bâtonnets ; si nous comptons par paquets, nous trouverons trente paquets ; et par bâtonnets, trois cents.
Trois sera le rapport de tout le tas de bâtonnets à un fagot ; trente, le rapport du même tas à un paquet ; trois cents, le rapport à un bâtonnet.

On peut produire tant qu’on en voudra des exemples semblables, en les variant à l’infini, de manière à bien familiariser l’élève avec cette notion de rapport, qui est à la base même de tout compte et de toute mesure, et qu’on rejette cependant à la fin de l’Arithmétique, dans l’enseignement classique, par on ne sait quelle aberration. Il n’est pas possible de compter deux haricots sans avoir la notion du rapport de deux à un ; de mesurer une longueur de trois mètres, sans comparer cette longueur à celle d’un seul mètre (rapport de trois à un) et ainsi de suite.

Ce sera ici l’occasion de montrer à l’élève, sans aucune explication théorique, sans aucune définition, sans aucun appel à sa mémoire, les objets les plus vulgaires du système métrique que l’on aura sous la main ; mètres, litres, pièces de monnaie, poids, etc. On l’exercera à en faire usage, à s’en servir pour mesurer ou compter, et l’idée de rapport s’incrustera dans son esprit, s’y associera indissolublement avec celle de nombre, ce qui est essentiel pour une saine compréhension, le jour où, dans l’avenir, il devra passer de l’amusement à l’étude. Et cette étude alors pourra devenir elle-même intéressante et amusante, au lieu d’avoir le caractère d’une ennuyeuse corvée, pour ne pas dire d’une torture.

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