11 octobre 2012

Les fractions décimales - Chapitre 10 de Jean Macé, Histoire de deux petits marchands de pommes




CHAPITRE X
LES FRACTIONS DÉCIMALES

     —
Eh bien! dit le roi, qu’allons-nous faire de ces 2 tocars ? Je ne voudrais pourtant pas les perdre. Il s’agit maintenant, mon garçon, de faire honneur à toutes les décorations que je t’ai données. Comment vas-tu t’y prendre?
Partageur se mit à pleurer.
— Je ne sais pas, dit-il. On ne m’en a pas appris plus long.
Et l’ingrat se souvenant alors de Pinchinette :
— Il n’y a que ma sœur, balbutia-t-il avec un pénible effort, il n’y a que ma sœur qui puisse nous tirer de là.
Vite et vite on attela les meilleurs chevaux du roi à son plus beau carrosse, et le grand écuyer en personne monta sur le siège. On ne pouvait pas s’en remettre à un cocher vulgaire d’une course aussi pressée. En moins de temps que vous ne sauriez l’imaginer, le carrosse était de retour, et pendant que les palefreniers s’empressaient autour des chevaux, blancs d’écume, Pinchinette sautait à terre avec la grâce et la légèreté d’un petit oiseau.
Les deux anciens marchands de pommes s’étaient précipités à sa rencontre, faisant danser les décorations et s’embarrassant les jambes dans les plis des beaux costumes. Elle éclata de rire en les apercevant.
— Eh ! bon Dieu! s’écria-t-elle, comme vous voilà fagotés, mes pauvres garçons! Je ne vous savais pas devenus si grands seigneurs.
— Ah! Pinchinette, murmura Partageur, tu n’as pas le temps de te moquer de nous. C’est fait de nous et de notre fortune si tu ne viens pas à notre secours.
Et il lui raconta rapidement, avec une mine consternée, ce qui venait de se passer. Elle l’ignorait encore, car le grand écuyer, dans sa précipitation, n’avait pas pris le temps de lui rien expliquer.
— Je vais voir ce que l’on peut faire, dit tranquillement Pinchinette. Ne te bouleverse pas tant. Je suis sûre que ce ne sera pas difficile. Elle entra dans la salle du trône sans avoir peur le moins du monde, mais en saluant si gentiment l’assemblée, qu’elle se gagna tous les cœurs à l’instant même. Le ministre des finances ne put lui-même s’empêcher de faire le plus gracieux de ses sourires.
Un voisin officieux glissa quelques mots à l’oreille du roi, et il fut bien étonné d’apprendre qu’il avait devant lui le véritable inventeur de toutes les belles choses qu’il glorifiait si bien dans la personne de deux écoliers. Il jura qu’on ne l’y prendrait plus. Mais que pouvait-il y faire? Les rois sont comme les autres : ils ne peuvent pas savoir ce qu’on ne leur apprend pas.
Cependant un silence religieux s’était établi. Pinchinette avait les yeux fixés sur ce malheureux 2 qui était venu là si mal à propos, et elle réfléchissait profondément.
— Sire, dit-elle enfin, ces deux unités sont dix fois plus faibles que les dizaines. Les dizaines sont dix fois plus faibles que les centaines, et cela va toujours ainsi jusqu’à l’autre bout des nombres. À mesure que l’on passe d’un chiffre à l’autre, en venant de celui qui est en tête, ils représentent toujours des quantités de dix en dix fois plus petites. On a dû vous expliquer cela. Qui nous empêche de continuer de la sorte après l’unité?
Nous avons à diviser 2 par 8, ce qui parait d’abord impossible. En voici le moyen.


— Si nous partageons chacune de ces unités en dix parties, nous aurons 20 au lieu de 2; mais chacune des dix parties sera dix fois plus petite que l’unité, en d’autres termes sera un dixième de l’unité.
En 20, 8 est contenu 2 fois pour 16.
S’il s’agissait de 16 unités, 8 y serait bien réellement contenu 2 fois. Mais comme il s’agit seulement de 10 dixièmes d’unité, c’est-à-dire d’une quantité dix fois plus petite, il est facile de voir qu’il y est seulement contenu 2 dixièmes de fois, c’est-à-dire dix fois moins ; — Nous écrivons 2 dixièmes au quotient.
Nos 16 dixièmes retranchés de 20, il en reste encore 4.
Si nous partageons chacun de ces 4 dixièmes d’unités en dix parties, comme dix fois dix font cent, nous aurons des centièmes d’unité, et nous en aurons 40.
40 contient 8 juste 5 fois, et par conséquent 40 centièmes le contiendront 5 centièmes de fois. — Nous écrivons au quotient les 5 centièmes à la suite des 2 dixièmes, et notre division est complète.
26.746 contient donc 8 d’abord 3.343 fois, pour lesquelles vous aurez, sire, 3.343 pommes.
Il le contient ensuite 2 dixièmes, 5 centièmes, ou mieux 25 centièmes de fois, pour lesquels vous aurez 25 centièmes de pomme.
— Oh ! oh ! dit le roi, qui était un peu comme Ramasse-Tout, et qui n’aimait pas à réfléchir trop longtemps; oh ! oh ! voilà qui me paraît un peu embrouillé!
Pinchinette aperçut deux belles galettes qu’un grand laquais apportait sur un plateau pour les besoins particuliers de la famille royale.
— Votre Majesté, dit-elle, serait-elle assez bonne pour désigner 8 personnes, et me permettre de partager entre elles ces 2 galettes ?
Le roi se désigna lui-même d’abord, c’était trop juste; puis la reine et le petit prince; puis le ministre des finances, qui pour le moment était en faveur; puis Pinchinette et ses deux frères ; et enfin, pour faire le huitième, il prit le secrétaire intime qui se trouvait là sous sa main. M. le secrétaire faisait les galettes quand il était marmiton, et maintenant il les mangeait. Voilà, ce que c’est que de devenir savant !
Quand les choix eurent été faits, Pinchinette tira un petit couteau de sa poche, et partagea chacune des 2 galettes en dix parties. Il y en avait 20 par conséquent.
— Voyez, sire, dit- elle, nous avons là 10 dixièmes de galette. J’en mets 16 de ce côté, et là-dessus nous en aurons chacun 2. 


Elle coupa encore en dix chacun des 4 morceaux qui restaient, et elle eut ainsi 40 morceaux.

Prenant ensuite délicatement entre le pouce et l’index un des 40 morceaux :
— Regardez bien, continua-t-elle. Voici le centième d’une galette, puisqu’il en faut dix comme celui-là pour faire le dixième d’une galette. Nous en avons 40 de ces centièmes. Partageons-les entre nous, et nous en aurons chacun 5. Nous avons déjà 2 morceaux dont chacun vaut 10 de ces petits-là. C’est donc 25 centièmes de galette qui nous reviennent à chacun.
2 divisé par 8 a donc pour quotient 25 centièmes.
— Bravo ! fit le roi, et toute la cour répéta : bravo! II n’y eut qu’Oscar qui fit un peu la grimace, car il avait espéré d’abord être mieux partagé, les deux galettes ayant été apportées pour 3, et non pour 8. La reine essaya de le consoler en lui abandonnant sa part à elle; mais il n’y trouvait pas encore son compte. Elle finit par faire un signe au grand laquais, qui disparut avec son plateau.
Pendant ce temps-là, les autres faisaient fête à leurs 25 centièmes de galette, et le roi, frappant amicalement sur l’épaule de son ministre, le complimentait, la bouche pleine, sur la belle idée qu’il avait eue, et qui venait de faire faire à la science un si grand pas.
  Et maintenant, belle petite, dit-il à Pinchinette quand il eut avalé son dernier centième, remettons-nous au travail si tu le veux bien. Comment allons-nous écrire notre nombre de pommes?

— Comme je vous l’ai annoncé, sire, en mettant les nouveaux chiffres à la suite de celui des unités. Seulement, pour marquer la séparation, nous mettrons une virgule – entre l’unité et les parties plus petites qu’elle qui la suivent.
Elle écrivit 3.343,25.
— On pourra mettre après cette virgule voudra. Leur valeur ira toujours en diminuant de dix en dix, de même qu’avant la virgule elle va toujours en augmentant de dix en dix, à partir de l’unité.
Ainsi, à gauche de l’unité, qui est le point de départ de tout le reste, nous avions des dizaines, des centaines, des mille, des dizaines de mille, etc., c’est-à-dire des valeurs toujours dix fois plus fortes. À droite de l’unité, nous aurons des dixièmes, des centièmes, des millièmes, des dix-millièmes, c’est-à-dire des valeurs toujours dix fois plus faibles. C’est la virgule qui nous avertira du point où les valeurs commencent à monter d’un côté, à descendre de l’autre.
— Voilà qui est, ma foi ! parfaitement imaginé, s’écria le bon roi en riant de plaisir, et laissant voir une rangée de dents magnifiques, qui paraissaient bien de taille à croquer les 3.343 pommes, et les 25 centièmes avec.
Et, après un moment de réflexion :
— Ah ! çà, dit-il, je vois que tout repose sur cette virgule. Et qu’arriverait-il, ma mignonne, si l’on avait le malheur de se tromper de place en la mettant? Sais-tu bien qu’ensuite on ne s’y reconnaîtrait plus du tout?
— Pardonnez-moi, sire, on pourrait toujours s’y reconnaître. Si l’on avait avancé là virgule d’un rang vers la gauche, le nombre serait devenu dix fois plus petit ; si de deux rangs, il serait devenu cent fois plus petit, et toujours comme cela jusqu’au premier chiffre. Si l’on avait reculé la virgule d’un rang vers la droite, le nombre serait devenu dix fois plus grand; si de deux rangs, il serait devenu cent fois plus grand, et toujours ainsi jusqu’au dernier chiffre.
Et, maintenant que j’y pense, ce sera même une manière très commode de multiplier ou de diviser, d’un coup de craie, un nombre par 10, 100, etc. Pour le multiplier par 10, reculez la virgule d’un rang ; pour le diviser par 10 avancez la virgule d’un rang : le tour est fait.
Voyez ceci 33.432,5.
Vous avez dix fois plus de pommes.
Et ceci 334,325.
Vous avez dix fois moins de pommes.
— Ah ! oui-dà ! petite sorcière. Et comment nous prouveras-tu cela?
— Dans le premier cas, vos unités sont devenues des dizaines : elles sont dix fois plus fortes.
Dans le second cas, elles sont changées en dixièmes : elles sont dix fois plus faibles.
Comme dans les deux cas, tous les autres rangs ont avancé ou reculé du même pas que les unités, ils sont tous uniformément dix fois plus forts ou dix fois plus faibles. Toutes les parties du nombre ayant grandi ou diminué dix fois en même temps, le nombre entier est bien forcé d’en avoir fait autant.
— Je suis content de toi, mon enfant; tu as réponse à tout. Je ne te demanderai plus qu’une chose : comment faudra-t-il nommer ces nombres que tu viens d’inventer, et qui sont placés après la virgule?
Pinchinette chercha un moment dans sa tête.
— Quand j’étais petite, dit-elle, enfin, je me suis un jour cassé le bras, et je me rappelle que le médecin appelait cela une fracture.
Eh bien! ici, nous avons cassé l’unité en morceaux, et ces morceaux-là en d’autres plus petits. Nous appellerons donc nos nouveaux nombres des fractions, et comme les morceaux vont toujours de dix en dix en se fractionnant, nous dirons FRACTIONS DÉCIMALES.
Tout le monde ici sait bien sûr le latin ; aussi, je n’ai besoin d’apprendre à personne qu’en latin decimus veut dire dixième.
— C’est entendu, dit le roi; nous savons tous le latin. D’ailleurs, ceux qui ne connaissaient pas tout à l’heure ce decimus, si par hasard il y en a ici, ceux-là le connaissent maintenant.


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