13 octobre 2012

Règle d'intérêt


CHAPITRE VI

Règle d'intérêt


source : Intérêt (taux d'un placement), in J'apprends à raisonner CM, p. 304.


La règle d’intérêt est de toutes les applications de la règle de trois, celle dont l’usage est le plus fréquent. C’est par elle que nous allons commencer.
 
On appelle intérêt de l’argent, le revenu que donne une somme placée pour un certain temps.
La somme placée s’appelle capital.
L’intérêt annuel d’une somme de 100 francs s’appelle taux.
L’intérêt d’une somme de 1.000 francs, placée au taux de 5 francs pour 100 francs, sera par conséquent de 50 francs[1].
Les quatre termes de la proportion sont donc ici bien nettement déterminés : l’intérêt, le capital, le taux et 100. Nous nous retrouvons dans le cas de la multiplication et de la division : des quatre termes, il y en a un qui est toujours connu, c’est 100 ; les trois autres peuvent devenir l’x à tour de rôle, comme dans les cas que voici :
1° Quel intérêt rapportent 1000 francs placés à 5 % ? — il demeure entendu qu’il s’agit toujours de l’intérêt annuel ;
2° Quel est le capital qui, placé à 5 %, rapporte 50 francs?
3° À quel taux ont été placés 1.000 francs ayant rapporté 50 francs d’intérêt?
Lesquels cas donneraient lieu aux proportions suivantes :
   x   :
1000    ::
5 :
100
d’où x =
50
   x   :
50    ::
100 :
5
d’où x =
1.000
    x   :
100    ::
50 :
1000
d’où x =
5

On pourrait disposer les termes autrement ; mais il est préférable de procéder méthodiquement, et, considérant que 100 est le capital dont le taux est l’intérêt, de mettre toujours en présence dans le même rapport le taux et 100, et dans l’autre l’intérêt et le capital, le premier correspondant toujours au taux, le second à 100.
Dans le premier cas, x, l’intérêt, est au capital comme 5 est à 100 : 50 est contenu dans 1.000 autant de fois que 5 l’est dans 100.
Dans le second cas, x, le capital, est à l’intérêt comme 100 est à 5 : 1.000 contient 50 autant de fois que 100 contient 5.
Dans le troisième cas, x, le taux, est à 100 comme l’intérêt est au capital : 5 est contenu dans 100 autant de fois que 50 l’est dans 1.000.
C’est toujours la même proportion qui revient.
Tous les problèmes possibles d’intérêt annuel rentrent forcément dans l’un ou l’autre de ces trois cas ; et vous voyez combien ils sont faciles à résoudre, en suivant la marche indiquée par la mise en proportion des quatre termes connus et inconnus :
1° Pour trouver l’intérêt : multiplier le capital par le taux, et diviser par 100.
Exemple : Intérêt de 655 à 4 % :
On divise le produit par 100 d’un trait de plume en plaçant la virgule devant les deux derniers chiffres = 26,20.
2° Pour trouver le capital : multiplier l’intérêt par 100, et diviser par le taux.
Exemple : Capital ayant donné 50 francs à 4 % :
5.000 : 4 = 1.250.
On multiplie 50 par 100, en lui ajoutant deux zéros = 5.000.
3° Pour trouver le taux : multiplier l’intérêt par 100 et diviser par le capital.
Exemple : Taux de 3.200 ayant rapporté 128 francs.
128 X 100 = 12,800
12.800 : 3.200 = 4.

Trois cas peuvent se présenter où la recherche de l’intérêt se complique d’un autre calcul :
1° Chercher l’intérêt d’une somme pendant un certain nombre d’années.
La solution du problème est des plus simples. L’intérêt annuel une fois obtenu, on le multiplie par le nombre d’années.
Exemple : Intérêt de 1.000 francs à 5 0/0, pendant 4 ans :
50 X 4 = 200.
2° Chercher l’intérêt d’une somme pendant un certain nombre de mois.
La solution est bien simple aussi. On multiplie l’intérêt par le nombre de mois, comme s’il s’agissait d’autant d’années, et comme le produit obtenu de la sorte se trouve être 12 fois trop grand, on le divise par 12.
Exemple : Intérêt de 1.000 francs à 5 % pendant 8 mois.
50 X 8 = 400
400 : 12 = 33,33
3° Chercher l’intérêt d’une somme pendant un certain nombre de jours.    
Même raisonnement. On multiplie l’intérêt par le nombre de jours ; or, en vertu d’une convention universellement acceptée, l’année est considérée, pour simplifier le calcul, comme se composant de 360 jours. On divise, en conséquence, par 360.
Exemple : Intérêt de 1.000 francs à 5 % pendant 75 jours
50 X 75 = 3.750,
3.750 : 360 = 10,40 et 3 millimes[2].

S’il y avait à chercher l’intérêt de 1.000 francs à 5 % pendant un certain nombre de mois et de jours, il faudrait convertir les mois en jours, les mois étant considérés, en vertu de la convention énoncée plus haut, comme composés tous uniformément de 30 jours (360 : 12 = 30).
Exemple : Intérêt de 1.000 francs à 5 % pendant 4 mois et 5 jours :
50 X 125 = 6.250
6.250 : 360 = 14.50

De même, si l’on avait à chercher l’intérêt de 1.000 francs pendant 2 ans et 3 mois, ou 2 ans, 3 mois et 25 jours. Il faudrait convertir, dans le premier cas, les années en mois; dans le second, les années et les mois en jours, et opérer en conséquence.
1er cas.
50 X 27 =1.350
1.350 : 12 =112,50
2e cas.
50 X 835 = 41.750
41.750 : 360 = 115.95

L’intérêt s’appelle composé quand il s’accumule pendant plusieurs années, en s’ajoutant chaque année au capital qui va toujours grossissant, et l’intérêt avec lui.
Soit à chercher, étant donnée une somme de 6.485 francs placée à intérêt composé de 5 % pendant six ans, ce qu’elle sera devenue à la fin de la sixième année.
Le procédé élémentaire consisterait en ceci :
Chercher d’abord l’intérêt de la somme à la fin de la première année; ajouter cet intérêt au capital; chercher pour la seconde année l’intérêt du capital ainsi grossi; l’ajouter de nouveau et continuer ainsi jusqu’à la fin de la sixième année.
Il y a un procédé plus expéditif qui consiste à rechercher d’abord, une fois pour toutes, ce que devient au bout d’un certain nombre d’années une somme de 100 francs placée à intérêt composé de 6, 5, 4, 3 %, etc. pour parer à tous les cas possibles de taux habituels.
Établissez vous-même le commencement de la liste pour le taux de 5 %, en forçant d’un centime dans votre calcul quand le chiffre d’un millime dépassera 5, et négligeant ce chiffre quand il ne dépassera pas 5.
Vous trouverez :
Pour la
1re
année,
105
2e
110,25
3e
115,70
4e
121,55
5e
127,62
6e
134, etc., etc.[3]

N’allons pas plus loin : ceci nous suffit.
Vous comprenez que des listes semblables établies pour les taux habituels, il devient facile de résoudre tous les problèmes d’intérêt composé en posant une proportion dont les quatre termes seront :
x, le capital cherché;
2° le capital primitif;
3° ce que deviennent 100 francs dans le nombre d’années indiqué;
4° 100.
Les quatre termes de la proportion seraient ici :
: 6.485 :: 134 : 100, d’où x = 8.689,90
Le capital cherché étant au capital primitif, après six années, ce que 134 est à 100, après ce même nombre d’années, il doit évidemment contenir 134 autant de fois que 6.485 contient de fois 100.
Or, 6.485 : 100 = 64,85, lequel nombre multiplié par 134 donne bien 8.689.
Le même raisonnement est applicable à tous les cas du même genre.
Les procédés de la règle d’intérêt trouvent leur application toutes les fois qu’il s’agit de chercher le tant pour cent d’une somme ou de comparer l’avantage respectif de deux valeurs de placement. Il suffira d’en citer quelques exemples pour lesquels la solution se trouve donnée déjà dans ce qui vient d’être dit.
Parlons d’abord de ce qui s’appelle l’escompte dans le commerce.
Il y a deux espèces d’escompte : l’un fixe, l’autre variable.
Soit, comme exemple d’escompte fixe, une pièce de vin de 400 francs, vendue avec escompte de 3 %.
Il n’est plus nécessaire de vous poser ici la proportion. Vous connaissez déjà la marche à suivre.
400 X 3 = 1.200
4.200 : 100 = 12.
L’acheteur n’aura à payer que 400 — 12 = 388.
Il en sera de même pour le 8 % qu’un négociant voudra gagner sur le chiffre annuel de ses affaires; pour le 5 % d’honoraires réclamé par un architecte sur le montant des dépenses de la construction à laquelle il a présidé.
Multiplier les sommes par 8 et par 5, et diviser par 100 : je n’ai plus à vous l’apprendre.

L’escompte variable est la retenue faite par un banquier sur le montant d’un billet payable dans un certain temps, dont il avance l’argent au détenteur du billet. Cette retenue varie nécessairement avec la date de l’échéance.
Soit l’escompte à 6 % d’un billet de 2.000 francs, payable à 45 jours de date.
Nous retrouvons là purement et simplement notre cas de tout à l’heure : chercher l’intérêt d’une somme pendant un certain nombre de jours.
C’est la même série de calculs à faire.
2.000 X 6 = 12.000
12.000 : 100 = 120
120 X 45 = 5.400
5.400 : 360 = 15
Le banquier n’aura à donner que 1.985 francs.
Argent prêté dont on retient l’intérêt d’avance, l’escompte d’un billet n’est pas autre chose
C’est là, au surplus, ce qui a donné lieu au calcul de ce qui s’appelle l’escompte en dedans, d’où est venu le nom d’escompte en dehors donné à celui dont il a été question jusqu’à présent.
En fait, le banquier n’avance pas 1.000 francs sur le billet qu’il escompte, puisqu’il retient l’intérêt de son argent qu’il se paye lui-même à l’avance. Le porteur du billet serait donc en droit de faire déduire de ce qu’on lui retient l’intérêt de cette retenue, soit ici l’intérêt de 15 francs. Mais alors la retenue ne serait plus de 15 francs juste. Il paraît difficile d’en sortir.
On en sort par un procédé analogue à celui auquel nous avons eu recours pour le calcul de l’intérêt composé. 
Prenons un calcul facile à faire, soit : un billet de 1.500 francs, payable dans un an, présenté à l’escompte en dedans de 5 %.
Le porteur du billet se place au jour de l’échéance, et dit à l’escompteur : ce jour-là, 100 francs que vous me prêtez aujourd’hui vaudront pour vous 105 francs. Puisque  vous vous payez d’avance de l’intérêt de votre argent, donnez-moi autant de fois 100 francs, que 105 est contenu de fois dans 1,500, de cette façon, la proportion devient exacte entre 100 francs que vous me donnez et 105 francs que je laisse entre vos mains.
Et cette proportion s’établit ainsi :
x : 1,500 :: 100 : 105, d’où x = 1.428,47
L’escompté gagne 3 fr. 57 c. à ce calcul, car l’escompte en dehors de 1,500 francs à 5 % étant de 75 francs pour un an, il n’aurait eu à toucher que 1.425 francs.
En bonne justice, l’escompte en dedans, qui entre entièrement dans les conditions de l’opération, devrait être la règle. Les banquiers trouvant plus expéditif, et surtout plus avantageux pour eux l’escompte en dehors, qui n’entre pas dans ce petit détail, c’est celui-là qui a prévalu. Il fallait pourtant vous parler de l’autre, qui valait la peine d’une explication.

La comparaison à faire entre deux valeurs de placement dont on connaît le capital et l’intérêt, s’établit par la recherche du taux, au moyen de deux proportions, dont les termes se disposent comme nous l’avons dit. Celle qui aura le taux le plus élevé sera évidemment la plus avantageuse.
Soit à comparer une rente d’État à 3 %, au prix de 85 francs, et une obligation de chemin de fer, rapportant 15 francs d’intérêt, au prix de 420 francs.
On établit les deux proportions suivantes :
x : 100 :: 3 : 85     d’où x = 3,52.
x : 100 :: 15 : 420      d’où x = 3,57.
L’obligation est plus avantageuse, à égalité de garantie, bien entendu.

Tous les problèmes de la règle d’intérêt peuvent se résoudre par la méthode de l’unité.
Soit à chercher l’intérêt de 1.500 francs à 6 % pendant 45 jours.
On dit, en alignant ses chiffres au-dessus et au-dessous de la barre qui est le signe de la division :

100 francs à 6 % pendant un an rapporteront 6 francs,
1 franc rapportera 100 fois moins;
1.500 francs rapporteront 1.500 fois plus;
Pendant un jour ils rapporteront 360 fois moins;
Pendant 45 jours ils rapporteront 45 fois plus;
Résultat : 11,25 francs.
Seulement n’est-il pas puéril, sachant qu’il faut multiplier 1,500 francs par 6, diviser le produit, d’un trait de plume, par 100, multiplier le quotient par 45, diviser le produit par 360, et sachant pourquoi, de se donner la peine de réciter cette formule, pour en finir par où l’on pouvait commencer :
Multiplier 1.500 par 6, diviser par 100, multiplier par 45 et diviser par 360;
On s’habitue ainsi à débiter machinalement des mots inutiles, et ce qui est inutile à dire est nuisible, comme habitude d’esprit.
Il est vrai qu’on peut ainsi, ayant les données du problème sous les yeux : 

Multiplier 360 par 100, le diviser par 6, et supprimant en conséquence le facteur 6 du numérateur de la fraction, aboutir à cette opération plus brève :
1.500 X 45 : 6.000 = 11,25
Mais qui empêche de procéder ainsi, de but en blanc?
Inutile également, au surplus, la mise des quatre termes en proportion, pour qui possède les procédés de la règle d’intérêt. Je vais vous les rappeler encore une fois pour mieux les graver dans votre mémoire
1° Multiplier le capital par le taux, et diviser par 100, pour avoir l’intérêt :
1.500 X 6 = 9.000
9.000 : 100 = 90
2° Multiplier l’intérêt par 100 et diviser par le taux, pour avoir le capital :
90 X 100 = 9.000
9.000 : 6 = 1.500
3° Multiplier l’intérêt par 100, et diviser par le capital, pour avoir le taux :
90 X 100 = 9.000
9.000 : 1.500 = 6
4° Pour le compte du temps, considérer les mois et les jours comme autant d’années. Multiplier en conséquence l’intérêt, soit 90 francs par le nombre de mois et de jours, soit 8 mois et 80 jours, et rendre au produit sa véritable valeur en le divisant par 12 et par 360 :
90 X 8 = 720
70 : 12 = 60
90 X 80 = 7.200
7.200 : 360 = 20
Il est assez clair qu’on n’a pas plus besoin de la proportion que du calcul par l’unité pour aligner ces multiplications et ces divisions dans un ordre si facile à retenir et c’est bien aussi ce qui se passe dans la pratique.



[1] Le « pour cent » s’écrit ainsi : %. On écrit 5 %, 4 %, 3 %, etc.
[2] Le millime est la dixième partie d’un centime. Il n’y aurait à en tenir compte que si le quotient était multiplié ensuite un très grand nombre de fois. En effet, 1.000 millimes font 1 franc, et 1.000 fois 3 millimes font 3 francs, qui ont droit de figurer dans un calcul.

[3] Si l’on poussait le calcul jusqu’à la fin de la quatorzième année, on trouverait 199,40, ce qui montre qu’un capital placé à 5 % d’intérêt composé se trouve doublé, à très peu de chose près, au bout de quatorze ans.
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