Les proportions

Rappelez-vous ce que nous venons de dire à propos de la division à un seul terme, qu’il y avait quatre termes en présence, trois connus : le dividende, le diviseur, avec l’unité dont on ne parle pas, et un inconnu : le quotient, qu’il s’agit de trouver.

J’ajoutais qu’il y a un rapport de proportion entre ces quatre termes, le quotient devant être au dividende ce que l’unité est au diviseur.

C’est la même chose pour la multiplication dans laquelle aussi quatre termes sont en présence, trois connus : un multiplicande, un multiplicateur, et l’unité; un inconnu, le produit, qui doit être au multiplicande ce que le multiplicateur est à l’unité.

C’est là ce qu’on appelle une Proportion.

Soit cette division, 832 : 8 = 104

et cette multiplication, 832 X 8 = 6.656

Voici comment l’on disposera les quatre termes, pour les mettre en proportion :

104 : 832 :: 1 : 8

6.656 : 832 :: 8 : 1

Chaque couple de nombres, par exemple dans la première proportion, 104 et 832, 1 et 8, s’appelle un rapport. On sépare les deux rapports par quatre points, disposés en carré ::

Les deux premiers termes de chaque rapport, 104 et 1, s’appellent antécédents ; les deux seconds, 832 et 8, s’appellent conséquents : ces deux mots viennent du latin et signifient, le premier : marcher devant ; le second : venir à la suite. On sépare les deux antécédents de leurs conséquents par le signe de la division :

Enfin, les deux termes placés à chaque bout de la proportion, 104 et 8, 6.656 et 1 s’appellent les extrêmes ; les deux du milieu, 832 et 1, 832 et 8, s’appellent les moyens.

On définit la proportion l’égalité de deux rapports parce que la proportion est égale entre les deux termes de chaque rapport. 104 est contenu 8 fois dans 832, et 1 est contenu 8 fois dans 8; 6,656 contient 8 fois 832 et 8 contient 8 fois 1.

C’est ce qu’expriment très nettement les deux formules que vous connaissez :

Un quotient qui est au dividende ce que l’unité est au diviseur;

Un produit qui est au multiplicande ce que le multiplicateur est à l’unité.

On distingue deux espèces de proportions :

1° La proportion par quotient, celle que nous venons de voir, ainsi appelée parce que la division des deux termes semblables de chaque rapport par le terme qui lui fait face est toujours égale, que ce soit la division des conséquents par les antécédents, comme dans notre premier cas :

832	: 4	= 8
8	: 1	= 8

ou la division des antécédents par les conséquents comme dans le second :

6.656	: 832	= 8
8	: 1	= 8

2° La proportion par différence, ainsi appelée parce que la soustraction de deux termes semblables, retranchés dans chaque rapport du terme qui lui fait face, donne toujours le même reste, ou la même différence.

Exemple[1] : 7.5 : 14.12

Retranchons les deux conséquents de leurs antécédents, nous aurons :

7	- 5	= 2
14	- 12	= 2

La propriété capitale des proportions, c’est que la multiplication, l’un par l’autre, des deux extrêmes et des deux moyens dans la proportion par quotient, leur addition, l’un avec l’autre, dans la proportion par différence, donnent toujours, soit le même produit, soit la même somme.

Exemple :

104	:	832	::	1	:	8	7	.5	:	14	.12

104	X	8	=	832			7	+	12	=	19
832	X	1	=	832			5	+	14	=	19

L’on peut changer à volonté l’ordre des termes : le résultat sera toujours le même, pourvu que l’on maintienne l’égalité de proportion dans chaque rapport.

Disposons ainsi les termes de nos deux proportions :

1	:	8	::	104	:	832					5	.	7	:	12	.	14
832	:	104	::	8	:	1					14	.	2	:	7	.	5

Le résultat sera toujours celui que nous venons d’obtenir, par la raison bien simple que ce seront toujours les mêmes termes multipliés l’un par l’autre, additionnés l’un avec l’autre.

Ajoutons que l’égalité de proportion, et par conséquent l’égalité de jeu entre les extrêmes et les moyens subsistera toujours si l’on multiplie ou divise les termes semblables par un même nombre dans une proportion par quotient; si l’on y ajoute ou l’on en retranche le même nombre dans une proportion par différence.

Soit : 104 : 832 :: 1 : 8

Multipliez les deux conséquents par 2; divisez par 2, vous aurez :

1°	104 :	1.664	::	1 :	16
2°	104 :	416	::	1 :	4

Il vous sera facile de vous assurer que le produit des extrêmes demeure égal à celui des moyens.

De même pour leur total, si nous ajoutons 4 aux deux antécédents de notre proportion par différence, ou si nous le retranchons :

7 . 5 : 14 . 12

nous aurons :

1°	11 .	5	::	18 .	16
2°	3 .	5	::	10 .	12

L’égalité des totaux se maintient dans les deux proportions. C’est 23 pour la première, 15 pour la seconde, juste la différence de 4, en plus ou en moins, de ces deux nombres sur 19.

Il va sans dire que cette égalité subsisterait si l’on opérait sur les 4 termes à la fois, soit avec le même nombre pour tous, soit avec des nombres différents pour chaque couple. C’est une conséquence forcée de ce qui vient d’être dit. Essayez-en.

Donc, on peut indifféremment changer l’ordre des termes d’une proportion, les multiplier, les diviser, y ajouter, en retrancher : ses extrêmes et ses moyens continueront de se balancer, tant que l’opération sera la même pour les termes semblables.

[1] Dans la proportion par différence, on met seulement, pour la distinguer de l’autre : un point entre les termes de chaque rapport, et deux points entre chaque rapport.