23 juin 2013

La théorie du calcul différentiel et intégral

« Pour que l’esprit gagne en sagacité, on doit lui donner de l’exercice en lui faisant chercher ce que les autres ont déjà trouvé, et en lui faisant examiner méthodiquement toutes les techniques humaines, même les plus insignifiantes, mais de préférence celles qui manifestent ou présupposent un ordre. » (Descartes, Règles pour la direction de l’esprit, X).
                A-t-on pris assez au sérieux l’avertissement cartésien ? Rechercher la vérité sans ordre, c’est-à-dire sans commencer par les questions les plus simples, c’est nécessairement s’obscurcir l’esprit au lieu de l’éclairer. Les questions qu’on aborde en philosophie ne sont pas les plus simples. Les problèmes sociaux par exemple sont parmi les plus difficiles, les plus composés qui soient. Cela n’interdit pas de les affronter, mais il y faut du moins une sérieuse préparation. Où l’esprit trouvera-t-il cette préparation, sinon dans les mathématiques ? C’est là et nulle part ailleurs, surtout même dans la géométrie, que l’esprit peut exercer ses forces. Ouvrez Euclide, lisez la première proposition, et cherchez la construction du problème. Quand vous aurez trouvé (car vous trouverez nécessairement), faites de même pour la seconde proposition. Mais n’allez pas regarder la démonstration avant d’avoir trouvé. Vous verrez ainsi clairement que votre intelligence est capable de trouver seule la vérité qu’elle ignorait, sans la moindre béquille, ni livre ni leçon. On répète que la philosophie apprend à penser par soi-même. Mais je ne vois pas comment elle peut y parvenir sans le détour par l’ascèse mathématique.
                Je me propose de faire un semblable détour, avec les auditeurs auxquels l’abstraction ne fait pas peur. Nous ne redémontrerons pas une à une les propositions d’Euclide, mais nous tâcherons de reprendre par ordre, depuis le début, la théorie du calcul différentiel et intégral, qui se trouve au croisement de la géométrie et de l’algèbre. Cette théorie arrête souvent l’honnête homme qui n’a pas fait d’études supérieures de mathématiques, parce que les notions d’infiniment petit ou de dérivée présentent une vraie difficulté, qui tient à la nature des choses. Mais, comme il s’agit là de la voie royale pour toute la mathématisation de la nature qui a rendu possible l’essor de la science moderne, on se condamne en ne l’étudiant pas à ne connaître des sciences de la nature que leur histoire extérieure. Je crois que cette théorie doit être abordée de front par l’aspirant philosophe, parce que la véritable logique ne peut pas faire l’économie d’une compréhension intérieure du développement des mathématiques.
                Il ne s’agira donc pas ici d’un cours d’histoire ou de philosophie des mathématiques, mais bien d’un cours de mathématiques à partir de problèmes historiquement importants, en ne perdant pas de vue les enjeux philosophiques des notions abordées. Il s’adresse à toutes les personnes qui ne se satisfont pas d’un enseignement réduisant les mathématiques à un instrument de sélection des plus rapides, inséparable d’un jargon pédantesque et coupé de l’intuition géométrique. Les mathématiques enseignées de cette manière n’éclairent pas l’esprit, mais les mathématiques en soi restent un moyen irremplaçable de fortifier l’intelligence pour pouvoir l’appliquer ensuite à des problèmes plus importants.

                Je m’appuierai pour toute la progression du cours sur la lumineuse Synthèse subjective d’Auguste Comte. En voici une esquisse de plan :

1°/ Introduction au calcul différentiel par la théorie des tangentes aux courbes planes.
a)      La notion de tangente dans la géométrie antique.
b)     Approfondissement de la notion, d’où méthode analytique pour déterminer les normales et les tangentes.
c)       le traitement du problème dans la Géométrie de Descartes.
Ce point exigera quelques rappels en ce qui concerne la théorie des équations et la théorie de l’ellipse.
2°/ Fondements abstraits du calcul différentiel.
a)      Ne pas confondre la dérivation d’une fonction et la différentiation d’une formule ou d’une équation.
b)     Différentiation des fonctions d’une seule variable.
     Elle sera abordée à partir des problèmes liés à la détermination des tangentes qu’elle permet de résoudre.
c)      Différentiation des fonctions de plusieurs variables.
     Abordée de même à partir de problèmes géométriques.
3°/ Théorie des maxima et minima.
a)      Principe de la méthode.
b)     Exemple d’application : comment Leibniz retrouve les lois de l’optique par la considération des « finales ».
4°/ Théorie de la courbure des courbes.
a)      Les notions de cercle osculateur et de rayon de courbe.
b)     Les notions de développée et de développantes.
5°/ Généralisation des problèmes de contact aux trois dimensions de l’espace.
a)      Comment déterminer le plan tangent à une surface, et à la tangente à une courbe à double courbure ?
b)     Comment déterminer la courbure d’une surface ?
c)      La classification des surfaces selon Monge.

Pour en savoir plus et lire les premiers cours, rendez-vous sur le site de  l'Université conventionnelle.


souris, clavier, logiciel de retouche-photos, par Blakoza1670
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