11 octobre 2012

La division - Chapitre 7 de Histoire de deux petits marchands de pommes

Septième chapitre de  


CHAPITRE VII.
LA DIVISION

— Et toi, dit Pinchinette en se tournant vers Partageur, voyons maintenant combien tu as de tocars à moi.
On compta les pièces. Il y en avait 688.
— J’ai réfléchi, dit le garçon, pendant que tu parlais à Ramasse-Tout. Je n’ai plus besoin de toi pour trouver ce que j’ai vendu de pommes. Chacune a rapporté 8 tocars. Autant de fois je pourrais retirer 8 de 688, autant de pommes j’aurai vendues. Je n’ai donc qu’à faire des soustractions les unes après les autres, et je compterai ensuite combien j’en aurai fait. Leur nombre sera juste le nombre des pommes.
Et, enchanté de son idée, il commença sur-le-champ à la mettre à exécution.

688
    8
680
    8
672
    8
…4

— Mais, malheureux, s’écria Pinchinette en lui arrachant le charbon des mains, tu vas nous tenir là plus d’une heure! Cherchons ensemble un moyen qui ne soit pas si long.
Nous avons là 688 tocars, n’est-ce pas? C’est le produit de toute la vente.
Pour chaque pomme vendue, il y a là-dedans 8 tocars. C’est convenu.
Pour chaque dizaine de pommes, 8 dizaines de tocars. Cela va de soi.
Pour une centaine de pommes, il nous faudrait par conséquent 8 centaines de tocars.
Tu n’as que 6 centaines. Tu n’as donc pas vendu 1 centaine de pommes.
Changeons ces 6 centaines en dizaines. Avec les 8 dizaines qui viennent ensuite, cela fera 68 dizaines.
Autant de fois 8 sera contenu dans 68, autant tu auras vendu de dizaines de pommes. C’est clair, puisque chaque dizaine de pommes vendues est représentée sur ton fil par 8 dizaines de tocars).
Regardons sur mon tableau.
8 fois 8 font 64, et si nous retirons 64 de 68, il ne restera plus que 4.
Donne-moi ces 64 dizaines de tocars, c’est-à-dire 640 et mettons d’abord que tu as vendu 80 pommes. Il y a là juste le prix de 8 dizaines de pommes.
Il nous reste maintenant 4 dizaines de tocars, ou 40. Avec les 8 qui viennent ensuite, cela fait 48.
Autant de fois 8 sera contenu dans 48, autant de pommes tu auras vendues.
Que dit le tableau?
6 fois 8 font 48.
Donne-moi les 48 tocars; c’est juste le prix de 6 pommes.        .
Il ne te reste plus rien, et je sais que tu as vendu 86 pommes : notre compte est réglé. Je t’en avais donné 100. Fais la soustraction. Tu m’en dois encore 14.
Partageur n’avait rien à dire; pourtant, il lui en coûtait de s’avouer vaincu.
— Avec un petit nombre comme celui-là, dit-il, on peut encore s’en tirer. Mais si j’avais vendu mes 2.775 pommes, comme Ramasse-Tout le supposait pour lui-même tout à l’heure, comment ferais-tu pour te débrouiller des 22.200 tocars ?
— Rien de plus simple. Puisque tu as suivi notre opération, tu as pu voir que les 22,200 se composaient :
De 40, produit de la vente des 5 pommes;
De 560, produit de la vente des 7 dizaines de pommes;
De 5.000, produit de la vente des 7 centaines de pommes;
Et de 16.000, produit de la vente des 2 mille pommes.
Je vais en retirer successivement le produit de la vente des mille, des centaines, des dizaines et des unités, et je retrouverai tout tranquillement 2.775.

2, le chiffre des dizaines de mille de tocars, ne contient pas 8. Je vois déjà qu’il n’y aura pas de dizaines de mille au nombre des pommes.

Je change les dizaines de mille en mille, et, avec les 2 qui suivent, j’ai 22 mille.
En 22, 8 n’est contenu que 2 fois, ce qui fait 16, et il reste 6 mille.
On a donc vendu d’abord 2 mille pommes qui ont produit 16.000 tocars.
Écrivons d’une part 16.000 et de l’autre 2.000.

Tocars produits par la vente
Nombre de pommes vendues
16.000
2.000

Les 6 mille qui restent, ajoutés aux 2 centaines, font 62 centaines.
En 62, 8 est contenu 7 fois pour 56, et il reste 6 centaines.
On a donc vendu 7 centaines de pommes qui ont produit 56 centaines de tocars.
Écrivons d’une part 5.600 et  de l’autre 700.
Tocars produits par la vente
Nombre de pommes vendues
5.600
700

Les 6 centaines qui restent nous donnent 60 dizaines auxquelles il n’y a rien à ajouter, puisque nous trouvons 0 au rang des dizaines.
En 60, 8 est encore contenu 7 fois pour 56, et il reste 4 dizaines.
On a donc vendu 7 dizaines de pommes qui ont produit 56 dizaines de tocars.
Écrivons d’une part 560 et de l’autre 70.
Tocars produits par la vente
Nombre de pommes vendues
560
70

Avec les 4 dizaines qui restent, nous aurons juste 40 unités, puisqu’il y a 0 au rang des unités.
40 contient 8 juste 5 fois.
On a donc vendu 5 pommes qui ont produit 40 tocars.
Écrivons d’une part 40 et de l’autre 5.
Tocars produits par la vente
Nombre de pommes vendues
40
5

Maintenant, additionnons, et nous trouverons d’une part 22.200 et de l’autre 2.775.
Tocars produits par la vente
Nombre de pommes vendues
22.200
2.775

J’ai donc 2.775 pommes dont la vente a produit les 22,200 tocars; dont tu me parlais; et, si je veux m’assurer que je ne me suis pas trompée, je n’ai qu’à multiplier 2.775 par 8, nombre de tocars que chaque pomme a produit. Tu sais d’avance ce que je trouverai.


— Sais-tu bien, toi, Pinchinette, s’écria Ramasse-Tout avec des larmes dans les yeux, que tu n’es plus aussi amusante qu’au commencement ?
Le pauvre garçon aurait mieux fait de ne pas parler.
—Tais-toi ! lui cria Partageur indigné. N’as-tu pas honte de venir ainsi nous déranger au milieu d’une opération si utile et si bien imaginée! Si tu n’es pas capable de cinq minutes d’attention, va jouer avec tes boîtes et tes paniers, et laisse-nous travailler. Je veux apprendre quelque chose, moi !
— A la bonne heure! reprit Pinchinette; voilà qui est parler en brave petit homme. Pour te récompenser, je veux te montrer à faire ton opération d’une manière plus simple.
Elle écrivit : 

— Regarde bien. Tu vas retrouver là tout ce que nous venons de faire. J’ai fait descendre une grande ligne, à partir de 22.200, pour tenir à part tous les nombres que, nous avons à en retirer l’un après l’autre, et j’ai tiré une barre sous le 8, pour le séparer de 2.775, nombre que nous avons à trouver.
As-tu remarqué que de 2.775 nous avons eu d’abord le chiffre des mille, puis celui des centaines, puis les dizaines, puis les unités? Ce n’est donc pas la peine d’écrire : 2.000, puis 700, puis 70, puis 5, et d’additionner tout cela. Écrivons : 2 d’abord, tout simplement, et les trois chiffres qui viendront après nous feront bien voir que ce 2 là représente des mille. Ecrivons 7, et les deux chiffres suivants nous montreront bien que celui-là représente des centaines, puisque, grâce à eux, il se trouvera au troisième rang. De même pour le 7 des dizaines que le 5 des unités viendra maintenir à son rang. De cette façon-là, nous trouvons 2.775, sans tant user notre charbon, et sans avoir besoin de tant de place pour faire notre opération.
D’un autre côté, à quoi bon écrire à part 16.000, puis 5.600, puis 560, puis 40. Si j’écris 16 au-dessous des mille, dans le même rang, je verrai bien qu’il s’agit de 16 mille, et de plus j’aurai l’avantage de pouvoir faire sur place la soustraction. Le 6 qui reste est bien évidemment 6 mille, puisqu’il est sous le rang des mille, et quand j’écris à côté 2, le chiffre des centaines, je vois tout de suite que j’ai 62 centaines, puisque le 2 est sous le rang des centaines. Je fais le même raisonnement pour les dizaines et les unités, et il est assez clair, à la fin, que les quatre nombres, retirés l’un après l’autre, font ensemble 22.200, puisque, quand j’ai retiré le dernier, il ne reste plus rien du tout.
Qu’est-ce que tu dis de tout cela?
— Je m’imagine bien que tu dois avoir raison; mais il faudra me laisser revoir cela à moi tout seul. Il y a beaucoup de choses à la fois là-dedans. Tu comprends qu’elles ne peuvent pas se loger dans la tête du premier coup.

À ton aise, mon petit Partageur. Je vois que tu es un bon garçon et que tu aimes à te rendre compte des choses. Cela me fait plaisir pour toi. As-tu encore quelque chose à me demander?
— Dame ! jusqu’à présent tu as donné un nom à toutes les opérations; celle-là devrait avoir aussi le sien. Il me semble qu’elle le mérite bien.
— Eh bien ! nous l’appellerons la Division, puisqu’elle consiste à partager, à diviser un nombre en autant de parties qu’un autre nombre contient d’unités. Ici, par exemple, nous avons divisé 22.200 par 8, et nous avons trouvé 2.775, qui y est contenu huit fois, juste autant qu’il y a d’unités dans 8.
Je me suis amusée tout à l’heure à faire pour ton frère des noms latins : tu en auras aussi.
22.200 s’appellera le dividende, parce que c’est le nombre qui est divisé.
8 sera le diviseur, parce que c’est le nombre qui divise.
2.775 sera le quotient.
— Ah bien ! celui-là est encore plus drôle que les autres.
— Il vient du mot latin quoties, qui veut dire « combien de fois ? ».
Qu’est-ce que tu cherchais quand je t’ai arrêté dans tes soustractions?
Combien de fois 8 était contenu dans 688.
C’était déjà un peu long mais avec 22.200, dis-moi un peu ce que tu serais devenu? je te conseille de me remercier : tu aurais eu à faire 2.775 soustractions!

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