11 janvier 2013

Calculer sur ses doigts



Pascal Dupré, Quelques outils pour apprendre à calculer, 3 : Je me permettrai de contester ce dernier extrait (voir ici) du Dictionnaire pédagogique en affirmant qu'interdire de compter sur les doigts présente certainement un danger plus grand que d'apprendre à calculer avec les doigts. Certains affirment même qu'empêcher un enfant d'utiliser ses doigts pour compter peut conduire à une mauvaise représentation du corps et entraîner des troubles dans le repérage spatio-temporel. C'est en tout cas prendre le risque de brûler des étapes importantes. Dans le domaine de la lecture, une pratique similaire visait à interdire la lecture à voix haute pour le lecteur débutant, les dégâts ont été considérables. Que l'on apprenne à se passer des doigts pour calculer et de l'oralisation pour lire, certes, mais il ne faut pas mettre la charrue avant les bœufs.
La main est le meilleur outil de l'enfant pour entrer dans l'abstraction du nombre. Pour compter une collection d'objets, il va associer successivement à chacun d'eux le nom qu'il aura mémorisé dans la comptine numérique, il n'aura au début que la notion de nombre ordinal : il pourra désigner le « un », le « deux », le « trois »..., c'est à dire le premier, le deuxième, le troisième... Pour appréhender la notion de quantité, c'est à dire la notion de nombre cardinal, il lui faudra deux aptitudes : concevoir la notion d'unité, c'est à dire admettre que l'ordre dans lequel il compte les objets ne modifiera pas le résultat final (c'est pourquoi il est préférable de faire compter des objets « semblables », afin de neutraliser toute différenciation qualitative), et garder le souvenir pour chaque unité de toutes les unités précédentes. La main est donc le support idéal pour aider à cette prise de conscience. Il lèvera successivement 3 doigts en comptant le nombre d'objets qu'il voit, puis pour indiquer le résultat de son dénombrement il lèvera simultanément les trois doigts en énonçant le résultat. Le procédé ainsi décrit est évidemment limité aux dix premiers nombres mais il en existe de plus complexes qui dépassent largement ces limites. Sans s'attarder sur les systèmes qui utilisent pour dénombrer l'appariement avec toutes les parties du corps, on signalera simplement l'utilisation des phalanges des doigts opposés au pouce qui permettent de compter facilement jusqu'à douze avec une main et jusqu'à soixante en combinant les deux mains (ce qui n'est peut être pas étranger à l'utilisation des base douze et soixante). Un ouvrage de calcul chinois du XVI° siècle indique même comment compter jusqu'à cent mille sur une main et dix milliards sur les deux.
Il ne s'agit pas ici d'aborder un système de numération corporel complexe mais d'envisager comment le calcul sur les doigts peut favoriser les représentations mentales des dix premiers nombres.




 



         numération sumérienne                                numération maya                           numération romaine


    La structure de la main est à l'image de cette limite de la perception humaine (4 doigts opposés au pouce) et offre, en plus de la perception visuelle, la sensation kinesthésique qu'on ne doit pas négliger dans l'apprentissage.  Quand on parle de représentation mentale du nombre on pense avant tout à une représentation visuelle mais le nombre, pour le jeune enfant, c'est d'abord une perception sonore, un mot, au sein d'une comptine, souvent associé à une durée ou à un rythme frappé dans les mains (dans les jeux : « 1,2,3 soleil », « cache-cache », ou les ultimatums « je compte jusqu'à 3... »). C'est bien évidemment insuffisant pour appréhender la notion de nombre mais cela participe indéniablement à la construction de cette notion. 

    La main offre en outre une représentation des relations arithmétiques entre les dix premiers nombres : 2 et 3 s'obtiennent par addition d'une unité (on lève un doigt de plus après le pouce 1+1, 2+1) mais pour monter 4, il est plus simple de cacher le pouce, c'est à dire de « montrer » 5 moins 1, dès lors on remarquera aussi que pour 3 on replie 2 doigts, c'est à dire « 5 moins 3 ». Quand l'enfant sera suffisamment exercé à observer, reproduire et monter ces relations entre 1, 2, 3, 4 et 5, on pourra les associer à des problèmes simples : « J'avais 3 billes, j'en ai gagné 2, combien ai-je de billes maintenant ? J'avais 5 bonbons, j'en ai mangé 2, combien m'en reste-t-il ? J'avais 5 euros, j'ai acheté un pain avec 1 euro... ». La décomposition des 5 premiers nombres acquises, on passera à celle des nombres de 6 à 10, avec comme perception première 6 = 5+1, 7= 5+2, 8 = 5+3, 9 = 5+4; 10 = 5+5, puis on comptera les doigts repliés pour avoir 9=10-1, 8=10-2 ...

    En montrant les doigts des 2 mains on pourra également mémoriser les premiers doubles (2 pouces : 2 fois 1 égalent 2, 2 pouces et 2 index : 2 fois 2 égalent 4...) et bien sûr les premières moitiés. Quand toutes ces combinaisons auront été mémorisées, on commencera à parler de « calcul mental » en interdisant aux doigts de bouger. Mais il sera bien inutile et vain de savoir quel type de représentation mentale sera privilégiée par chaque enfant. Par exemple pour 5-3, entendra-t-il la formule 5-3=2 ? Verra-t-il 2 doigts de sa main se replier pour en laisser 3 levés ? Sentira-t-il une impulsion nerveuse au bout des doigts concernés, même sans les bouger ? Ou peut être même un mélange de tout cela. Peu importe, il saura que 5-3 font 2 ...sur le bout des doigts.

Pour la suite de l'apprentissage des tables d'addition la mémoire auditive sera davantage sollicitée, mais si elle présente des défaillances, il ne sera pas inutile de rappeler ces premiers calculs sur les doigts et les décompositions de 5 et de 10. Par exemple « 8+7 » peut se décomposer en « 8+2+5 = 10+5 = 15 », « 6+8 » en « 6+4+4 = 10+4 = 14 », mais il est nécessaire pour cela de s'entraîner à enchaîner (avec, puis sans les doigts) des suites d'additions et de soustractions de petits nombres (4-2+3+1-5...). On trouvera également quelques techniques de calcul sur les doigts pour des tables de multiplication mais elles font plus figure de gymnastique mentale ou de remède d'urgence que de base d'apprentissage.


A suivre......

Sommaire :


Pour poursuivre : 


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