Règle d'alliage

Jean Macé Notions d'arithmétique élémentaire

CHAPITRE XI

Règle d'alliage

source : http://www.compagniedesgemmes.com/guide-technique/metaux-precieux_fr_09_13.html

Alliage veut dire : mélange de métaux. La règle d’alliage est donc un cas de la règle de mélange, mais plus compliqué que les autres, et qui demande d’autres raisonnements.

Il y a un grand nombre d’alliages, dans lesquels les métaux peuvent se mélanger en proportions très variables. Nous ne nous occuperons que des alliages de l’or et de l’argent avec le cuivre. C’est sur eux que l’on a établi tous les raisonnements de la règle d’alliage, parce que leurs proportions sont évaluées d’après le système décimal, qui rend les calculs incomparablement plus faciles.

Quelques explications préliminaires sont indispensables pour aborder ces calculs :

Un morceau brut d’or ou d’argent, avec ou sans alliage, s’appelle un lingot.

La proportion d’or et d’argent que contient un lingot s’appelle son titre.

Pour évaluer le titre d’un lingot, on le considère comme divisé en 1.000 parties. Celui qui, sur ces 1.000 parties, en contient 900 d’or ou d’argent, est dit au titre de 900. Celui qui en contient 800 est dit au titre de 800, et ainsi des autres. Un lingot d’or ou d’argent pur est au titre de 1.000.     

Il va de soi qu’un lingot au titre de 900 contient 100 parties de cuivre sur 1.000 ; qu’un lingot au titre de 800 contient 200 parties de cuivre, et ainsi des autres.

Ceci dit, voyons d’abord comment on détermine le titre d’un lingot d’or, sachant quelles quantités d’or et de cuivre on a fondues ensemble pour le faire.

Soit un lingot fait avec 400 grammes d’or et 60 grammes de cuivre.

On déterminera son titre au moyen d’un raisonnement bien simple.

Si le lingot pesait 1.000 grammes, son titre serait la quantité de grammes d’or qu’il contiendrait.

Il pèse 460 grammes sur lesquels il contient 400 grammes d’or. Le chiffre inconnu du titre que l’on cherche sera donc dans la même proportion avec 1.000 que 400 avec 460, poids total de notre lingot.

Posons la proportion : x : 1.000 : : 400 : 460 et divisons le produit des deux termes moyens par l’extrême connu :

              1.000 X 400 = 400.000

              400.000 : 460 = 870 … moins une quantité négligeable.

870 est donc le titre du lingot.

Une proportion du même genre nous donnera le poids de l’or contenu dans ce lingot, le poids du lingot et son titre étant connus. Il est clair que la proportion de l’or dans les 460 grammes sera la même que celle de 870 avec 1.000.

x : 460 :: 870 : 1.000 d’où x = 400,2 ([1])

C’est la même opération que nous allons avoir à faire pour le problème suivant :

On fond ensemble trois lingots d’argent de titres différents, savoir :

Quel sera le titre du nouveau lingot?

Nous avons son poids. Cherchons quelle quantité d’argent contenaient les trois lingots dont il a été formé.

Ce sont trois proportions à poser semblables à celle de tout à l’heure :

Connaissant maintenant le poids du lingot (1.800) et la quantité d’argent qu’il contient (1.380), nous n’avons plus qu’à poser la proportion

x : 1.000 : : 1.380 : 1.800 = 766,666...

Le titre du lingot est 766 6/9 ou 766 2/3.

Troisième cas à résoudre :

Étant donnés deux lingots de titres différents, avec lesquels on veut en faire un troisième d’un titre intermédiaire et d’un poids déterminé, comment trouver dans quelle proportion il faudra prendre de chacun des deux premiers?

Soit un lingot d’or au titre de 900 et un autre au titre de 750, quelle quantité faudra-t-il prendre de l’un et de l’autre pour faire un lingot pesant 600 grammes et au titre de 800?

Nous retombons ici dans une donnée de la règle de mélange; et nous disons d’abord.

Si 1,000 grammes du premier lingot contiennent 900 grammes d’or, un gramme en contiendra mille fois moins ou 900 milligrammes, Un gramme du second contiendra 750 milligrammes d’or ; un gramme du troisième devra en contenir 800.

Nous avons donc :

1^er, 900

2^e, 750

3^e, 800

Chaque gramme du premier lingot entrant dans le troisième y apportera donc 100 milligrammes d’or de plus qu’il ne faut, et chaque gramme du second 50 milligrammes de moins. 50 étant contenu 2 fois dans 100, il faudra donc, pour faire la compensation, prendre 2 grammes du second contre 1 gramme du premier.

Or, 2 et 1 font 3, qui est contenu 200 fois dans 600.

Il faudra donc prendre 200 grammes du premier lingot et 400 du second.

Supposons enfin qu’on veuille élever du titre de 650 au litre de 900 un lingot d’or de 800 grammes, quelle quantité d’or pur faudra-t-il y ajouter?

Nous le saurons bientôt en reprenant le raisonnement de tout à l’heure :

Chaque gramme d’or pur, qui est au titre de 1.000, abandonne 100 milligrammes en entrant dans le lingot où il doit descendre au titre de 900.

Chaque gramme du lingot, qui est au titre de 650, est en déficit de 250 milligrammes dans son apport

(650 + 250 = 900)

Il faudra donc, pour faire la compensation, prendre 250 grammes d’or pur contre 100 grammes du lingot de 800 grammes, et l’on aura le chiffre de la quantité d’or exigée en multipliant 250 par 8 :

250 X 8 = 2.000

Il faudra ajouter 2.000 grammes d’or pur au lingot de 800 grammes, au titre de 650, pour l’élever au titre de 900.

On pourrait arriver au même résultat par un autre raisonnement.

Cherchons d’abord quelle est la quantité d’or pur contenue dans le lingot de 800 grammes au titre de 650.

Il nous sera facile, sachant le poids et le titre du lingot, de le trouver au moyen de la proportion que vous connaissez bien maintenant :

x : 800 : : 650 : 1.000, d’où x = 520

Puisque le lingot contenait 520 grammes d’or, le nombre de ses grammes de cuivre se montait nécessairement à 280, complément de 520 à 800.

Or, ces 280 grammes de cuivre sont restés là. Ils doivent se retrouver tels quels dans le nouveau lingot, et nous savons que la proportion du cuivre à l’or est de 1 à 9 dans un lingot au titre de 900.

Le nouveau lingot devra donc contenir 9 fois 280 grammes d’or :

280 X 9 = 2.520

Nous savons que le premier lingot contenait déjà 520 grammes d’or : il y a donc eu un apport de 2.000 grammes d’or pur.

On peut varier et compliquer de mille façons les problèmes de la règle d’alliage. Ils se réduisent à trouver, certaines proportions étant données, de quelle façon elles se commandent les unes les autres. Ce sont toujours les mêmes raisonnements qui reviennent.

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Une application de ce cours :

source : http://souspression.canalblog.com/archives/2012/07/30/24806887.html

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[1] L’erreur de 2 décigrammes correspond ici à la fraction négligée dans le calcul de 870.