La méthode de l'unité

Jean Macé Notions d'arithmétique élémentaire

CHAPITRE V

La méthode de l'unité

L’emploi de la proportion a cet avantage qu’il force à raisonner et qu’il permet d’embrasser d’un coup d’œil les données du calcul.

Il faut pourtant que je vous fasse connaître une méthode ingénieuse, imaginée pour résoudre les problèmes de la règle de trois, sans les mettre en proportion, méthode plus commode, surtout dans les cas de règle de trois composée, parce que le procédé a quelque chose de mécanique qui n’exige qu’une dépense moindre de raisonnement.

Voici comment on procéderait avec cette méthode pour résoudre le problème de règle de trois composée mis en proportion dans le chapitre précédent :

8 hommes, travaillant 9 heures par jour, ont fait un ouvrage en 6 jours, combien faudra-t-il de jours à 3 hommes, travaillant 12 heures par jour, pour faire le même ouvrage?

Prenant dans son ensemble la quantité d’ouvrage fait par 8 hommes, à raison de 9 heures par jour en 6 jours, on se dit :

Un seul homme en aurait fait 8 fois moins ou 1/8 ; travaillant une seule heure par jour, il en aurait fait 9 fois moins ou 1/9 ; travaillant un seul jour, il en aurait fait 6 fois moins ou 1/6. 

On multiplie ces trois nombres l’un par l’autre, et l’on obtient 1/432, c’est-à-dire un 432^e de l’ouvrage, ce qu’un homme aurait fait en travaillant une heure, un seul jour.

Reprenant alors ce 432^e d’ouvrage, on se dit : 3 hommes travaillant une heure en auraient fait 3 fois plus ou 3/432 ; travaillant 12 heures, ils en auraient fait 12 fois plus ou 12/432.

Multipliant 3 par 12, on obtient 36/432, ou l’ouvrage fait par 3 hommes en un jour.

Pour avoir le nombre de jours que leur demandera l’ouvrage entier, on divise 432 par 36, et l’on obtient 12, le nombre de jours que nous avions obtenu tout à l’heure (voir ici) en faisant la même division.

Pour abréger l’opération, on aligne les nombres à mesure, de façon à en faire une fraction dont 36 sera le numérateur et 432 le dénominateur :

et l’on divise le dénominateur par le numérateur pour savoir combien de fois celui-ci est dans l’unité, à savoir dans 432/432 représentant l’ouvrage entier fait en 432 heures.

432 : 36 = 12.

Ce procédé permet une simplification du calcul qui nous a donné 36 et 432. Elle découle du principe dont je vous ai parlé, qu’une fraction ne change pas de valeur quand on divise ses deux termes par un même nombre.

Reprenons :

Si l’on divise 3 et 9 par 3, 3 disparaît, et 9 devient 3. Si l’on divise 6 et 12 par 6, 6 disparaît et 12 devient 2.

L’on se trouve alors en présence d’une fraction nouvelle, bien plus simple que l’autre et ayant la même valeur :

divisez 24 par 2, qu’obtenez-vous? 12, toujours 12.

Tout cela se fait du premier coup, quand on en a pris l’habitude. On va plus vite et l’on a moins à réfléchir.

C’est la raison pour laquelle nous conserverons l’emploi de la proportion dans les chapitres qui vont suivre, lesquels seront consacrés aux applications diverses de la règle de trois. Il est bon aussi de prendre l’habitude de réfléchir sur ce que l’on fait.

Vous allez maintenant comprendre sans peine d’où vient ce nom de Méthode de l’Unité.

Étant donné un produit quelconque — ici, c’est un ouvrage, — dont tous les facteurs sont connus — ici, ce sont 8 hommes, 9 heures, 6 jours — et qu’il s’agit de reproduire avec d’autres facteurs dont un demeure inconnu, — ici 8 hommes et 12 heures sont les facteurs connus — on cherche la part qui revient dans ce produit à :

                                      1 homme,

                                      1 heure,

                                      1 jour,

et on la multiplie par 3 hommes et 12 heures.

La division du produit complet 432 par le produit incomplet 36 donne le facteur qui demeurait inconnu, 12 jours.

L’on n’a pas besoin de déterminer d’avance les nombres que l’on aurait eu à poser en proportion; mais on arrive forcément à l’opération finale de la proportion, diviser 432 par 36.

source des illustrations : Chatelet et Condevaux, J'apprends à raisonner CM, p. 182.