Extraction de la racine cubique

Jean Macé Notions d'arithmétique élémentaire

CHAPITRE XIV

Extraction de la racine cubique

source : http://www.laboiteverte.fr/rubicks-cube-cerveau/

Qu’est-ce que le cube ?

 

C’est le produit de la multiplication du carré par sa racine. Vous en avez une suite d’exemples dans les trois lignes ci-dessous qui vous donnent les carrés et les cubes des dix premiers nombres :

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Carrés :	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100
Cubes :	1	8	27	64	125	216	343	512	729	1000

Procédons avec le cube comme nous avons fait avec le carré, en assistant d’abord à sa formation.

Soit le nombre 23 qui nous a déjà servi comme racine carrée (voir ici).

Nous avons vu que la multiplication de 23 par 23 donne trois produits distincts qui forment son carré

1° 9, carré de 3 ;

2° 120, produit de deux fois 20 multiplié par 3;

3° 400, carré de 20.

Ce sont ces trois produits que nous allons multiplier successivement pour construire le cube de 23, d’abord par 3, ensuite par 20, c’est-à-dire par le chiffre des unités de la racine et par celui de ses dizaines.

Posons-les à nouveau, en simplifiant leur énonciation au moyen de ces signes

u², u³ — d², d³

qui indiquent le numéro de la puissance à laquelle sont élevés le chiffre des unités et celui des dizaines ; u et d représenteront le chiffre des unités et celui des dizaines de la racine, [1]

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Multiplions ces trois produits par 3 d’abord, et ensuite par 20.

12.167 est donc le cube de 23. Cherchons dans les 6 produits dont il est formé les valeurs qui sont de même nature, pour les grouper ensemble.

Nous avons d’abord en tête et en queue de liste 27 et 8.000, le cube des unités et celui des dizaines. Ces deux nombres-là font bande à part : ils n’ont rien à voir avec les autres.

1.200 et 2.400 ont une origine commune. C’est le produit de la multiplication de d² par u, 1 fois d’abord, 2 fois ensuite : en tout, 3 fois.

Ils font ensemble 3.600, produit du carré des dizaines multiplié 3 fois par les unités.

De même pour 360 et 180, produit de u² multiplié par d, 2 fois d’abord, 1 fois ensuite.

Ils font ensemble 510, produit du carré des unités multiplié 3fois par les dizaines.

Nos 6 produits se réduisent donc à 4, que nous allons avoir à retirer successivement de 12.161 pour remonter à sa racine.

Rangeons-les en ordre de bataille, en commençant par les plus gros, qui sortiront les premiers :

Nous pouvons procéder maintenant .à l’extraction de la racine cubique de 12.161 : nous sommes en mesure de voir clair dans notre opération. C’est encore une division, comme pour la racine carrée, et l’on abaisse un nouveau chiffre à chaque valeur que l’on retire, après la première.

Raisonnons l’opération qui a fait sortir du cube 12.167 sa racine 23.

Le cube de 10 est 1.000.

12.167 contient des mille. Il y a, par conséquent, un chiffre de .dizaines à sa racine, et le cube de ce chiffre ne peut être contenu que dans les 12 mille.

Le plus grand cube contenu dans 12 est 8, cube de 2, 2 est, par conséquent, le chiffre des dizaines de la racine.

Nous enlevons 8.000 à 12,167 : il nous reste 4.167.

Que nous faut-il savoir encore de la racine ? Le chiffre de ses unités. Un calcul bien simple va nous le donner.

4.167 doit contenir 3 fois le carré des dizaines multiplié par les unités, et le carré de 10 étant 100, le produit de cette multiplication ne peut être contenu que dans les 41 centaines de ce qui reste du cube.

3 fois 4, carré de 2, font 12, qui est contenu 3 fois, pour 36 dans 41. 3 est donc le chiffre des unités de la racine.

Nous l’inscrivons à côté du chiffre de ses dizaines, et nous enlevons au cube 38 centaines, ou 3.600.

Il nous reste 567 dont nous retirons successivement d’abord 540, ou 54 dizaines, produit du carré des unités de la racine multiplié trois fois par ses dizaines, puis 27 cube de 3.

Il ne reste rien de 12.107, et nous serions certains, si nous ne l’avions pas vu d’avance, que sa racine cubique est bien 23.

Nous avons eu là quatre opérations successives, correspondant chacune à l’un des quatre produits distincts dont se composait le cube, et vous pouvez maintenant vous rendre compte aisément de la marche à suivre pour extraire une racine cubique de deux chiffres :

1° Extraire des mille du cube le cube des dizaines de la racine, ce qui donnera le chiffre des dizaines;

2° Extraire des centaines restantes du cube le produit de 3 fois le carré des dizaines de la racine multiplié par le chiffre de ses unités, ce qui donnera ce chiffre ;

3° Extraire des dizaines restantes du cube le produit de 3 fois le carré des unités de la racine multiplié par le chiffre de ses dizaines;

4° Extraire des unités restantes du cube le cube des unités de sa racine.

S’il y avait eu un reste à la suite de notre opération, comme cela arrive presque toujours avec un cube que l’on n’a pas construit d’avance, comme le nôtre, pour la démonstration ; si nous avions eu, par exemple, à extraire la racine cubique de 12.850, il aurait fallu continuer l’opération en transformant en dixièmes, par l’addition d’un zéro, les 683 unités qui seraient restées après l’extraction de 12.167, le cube de 23, chercher le chiffre des dixièmes de la racine, en divisant 6.830 par 3 fois le carré de 23, soit 1.587.

Ce chiffre 4 obtenu, il y aurait à extraire du restant, à savoir 482 dixièmes, 3 fois le carré des dixièmes par les unités de la racine, et comme des dixièmes multipliés par des dixièmes donnent des centièmes, il faudrait changer les 482 dixièmes en centièmes en y ajoutant un zéro.

Le carré de 4 est 16. 3 fois 16 = 48. Ce sera donc 48 multiplié par les 23 unités de la racine, soit 1.104, qu’il faudra soustraire de 4.820.

Reste enfin à extraire le cube des 4 dixièmes.

Or, si le cube des dizaines se compose de mille, le cube des dixièmes se compose de millièmes. Il faudra donc transformer les 3.716 centièmes restants en millièmes par l’addition d’un nouveau zéro, et retrancher le cube de 4, soit 64 de 31.160 millièmes.

Il restera 37.096 millièmes sur lesquels on recommencera la même série d’opérations, si l’on veut arriver au chiffre des centièmes de la racine. Seulement cette fois on opérera non plus avec 23 unités, mais avec 234 dixièmes.

Tout cela doit vous paraître bien compliqué, mais vous finirez par vous y reconnaître si vous faites attention que les 3 opérations réclamées par le chiffre des dixièmes sont exactement les mêmes, et se suivent dans le même ordre que celles qu’avait réclamées le chiffre des unités, et qu’à chacune de celles-là il avait fallu abaisser un nouveau chiffre, la première s’étant faite sur les centaines du cube, la seconde sur ses dizaines, la troisième sur ses unités.

La virgule franchie, l’on n’a plus de chiffre à abaisser; mais on y supplée en allongeant d’un zéro le reste du cube à chacune des opérations qui se font, la première sur des dixièmes, la seconde sur des centièmes, la troisième sur des millièmes.

Enfin, de même que pour l’extraction du chiffre des dixièmes de la racine on avait opéré avec 23, en changeant les 2 dizaines en 20 unités, de même pour l’extraction du chiffre des centièmes, il faudrait opérer avec 234 en changeant les 23 unités en 230 dixièmes.

On en ferait autant pour les centièmes si, après avoir obtenu leur chiffre, on voulait aller plus loin, et l’on peut aller ainsi indéfiniment.

Notez que si vous vouliez vous donner la peine de refaire sur le carré et le cube de 23,4 le travail préparatoire auquel nous avons soumis ceux de 23, vous retrouveriez tout aussi bien l’origine de ce carré des unités multiplié 3 fois par les dixièmes, et de ce carré des dixièmes multiplié 3 fois par les unités. C’est un travail de patience qu’il ne tient qu’à vous d’entreprendre en enregistrant à mesure les produits obtenus comme mils l’avons fait tout à l’heure[2].

Si le cube contenait des millions, il y aurait des centaines à la racine, le cube de 100 étant 1.000.000. Le travail à faire serait alors exactement le même que pour 23,4, et la série des opérations se suivrait également dans le même ordre.

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[1] 2 fois et 3 fois d et u s’écrivent ainsi 2 d, 2 u — 3 d, 3 u.

[2] S’il prenait fantaisie d’essayer de l’extraction de la racine 23, élevée à sa quatrième puissance, rien ne serait plus facile que de se tracer la marche à suivre en recommençant sur son cube le travail qui vient d’être fait sur son carré, enregistrant à mesure les produits de la multiplication de ses 4 valeurs par 3 d’abord, ensuite par 20, et groupant encore une fois les valeurs de même nature. Il s’en trouverait 5. On en trouverait 6 pour la cinquième puissance, 7 pour la sixième et ainsi de suite — et chacune exigerait une opération analogue à celles pratiquées sur les 4 valeurs du cube avec abaissement d’un nouveau chiffre à chacune. C’est un calcul à faire que je vous indique comme curiosité; mais on s’y prend autrement dans la pratique. Ce procédé-là est beaucoup trop compliqué.