Extraction de la racine carrée - La division à un seul terme

Jean Macé,  Notions d'arithmétique élémentaire

CHAPITRE I

DIVISION À UN SEUL TERME[1]

source : http://www.greenforlife.fr/racine-carre-design-plante

Il y a un cas de division très curieux, qu’on rejette d’habitude à la fin des livres d’arithmétique, et dont la vraie place est dans la division même et avant les proportions.

Nous avons dit que la division peut être considérée comme venant à la suite d’une multiplication dont on a le produit et l’un des facteurs, et dont il s’agit de retrouver l’autre facteur.

Quand les deux facteurs ne sont qu’un seul et même nombre, autrement dit, quand ce nombre a été multiplié par lui-même, exemple 23 X 23 = 529, il est possible, n’ayant que le produit de la multiplication, soit 529, de retrouver le nombre qui a été son double facteur.

Pour bien comprendre la marche à suivre en pareil cas, il est bon d’assister d’abord à la formation de ce produit par la multiplication de ses deux facteurs, 23 et 23.   

Nous allons donc multiplier 23 par 3 unités d’abord, ensuite par 2 dizaines, et nous écrirons, l’un sous l’autre, les quatre produits partiels :

3X 3 =	9
20 X 3 =	60
3 X 20 =	60
20 X 20 =	400
Total :	529

Il saute aux yeux que, sur ces 4 produits partiels, il y en a deux qui sont semblables, et qui devaient l’être forcément, puisqu’ils proviennent des deux mêmes facteurs multipliés deux fois l’un par l’autre : 20 X 3 et 3 X 20.

Nous pouvons les mettre ensemble, en raison de leur communauté d’origine, 20 multiplié deux fois par 3. Disons donc : 60 + 60 = 120.

529 se trouve ainsi composé des 3 nombres que voici, étagés par ordre de grandeur :

Essayons de diviser maintenant :

Impossible de commencer sans le diviseur dont la place reste en blanc. Nous ne le connaissons pas; mais nous allons le connaître bientôt.

Dix multiplié par dix, cela fait cent.

Il y avait donc des dizaines à ce facteur inconnu puisque 529 a des centaines, et le produit de la multiplication par lui-même du chiffre de ses dizaines doit se trouver nécessairement dans les centaines de 529.

Il y en a 5.

Quel est le plus grand nombre possible qui, multiplié par lui-même, donne un produit contenu dans 5?

Nous n’aurons pas à chercher longtemps. C’est 2, puisque 2 X 2 = 4, qui est contenu dans 5.

Nous tenons maintenant le chiffre des dizaines du diviseur, et nous allons pouvoir commencer la division de 529, ou, si vous aimez mieux, sa décomposition, en lui retirant d’abord le produit de la multiplication par lui-même du chiffre des dizaines du diviseur. Or, 20 X 20 = 400. Nous savons cela déjà.

 Cherchons maintenant le chiffre des unités du diviseur. Il ne sera pas difficile à trouver.

Oublions la multiplication que nous venons de faire pour n’en retenir qu’une chose, commune à toute multiplication par lui-même d’un nombre quelconque de deux chiffres, à savoir qu’on multiplie d’abord ses dizaines par ses unités et ensuite ses unités par ses dizaines, ce qui revient à dire que le chiffre de ses dizaines est multiplié deux fois par celui de ses unités.

2 est ici le chiffre des dizaines, 2 fois 2 font 4. C’est donc comme si 4 avait été multiplié 1 fois par le chiffre inconnu des unités. Nous approchons.

Multipliez 4 pommes, 4 chevaux, 4 moutons par un nombre quelconque, le produit de la multiplication sera toujours un nombre de pommes, de chevaux, de moutons. Il ne peut pas en être autrement avec des dizaines. C’est donc dans les dizaines de ce qui nous reste, de 529 qu’il faut aller chercher le produit du double des dizaines par les unités.

Il reste 129.

Combien avons-nous là de dizaines ? 12.

Combien de fois 4 est-il contenu dans 12 ? 12 : 4 = 3.

3 est donc le chiffre des unités du diviseur.

Nous faisons la soustraction des 12 dizaines de 129 ; il ne reste plus que 9, juste le produit de 3 multiplié par lui-même; et voilà notre division achevée, notre diviseur trouvé, avec le quotient par-dessus le marché !

 On appelle cela l’extraction de la racine carrée parce qu’on donne le nom de carré au produit de la multiplication d’un nombre par lui-même, et le nom de racine du carré, ou racine carrée au nombre dont la multiplication par lui-même a produit le carré.

9 est le carré de 3, 400 le carré de 20, et 23 est la racine de 529, d’où nous venons de l’extraire.

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[1] Le dividende, le diviseur et le quotient sont les trois termes de la division.

Le multiplicande, le multiplicateur et le produit sont les trois termes de la multiplication.

Deux de ces termes étant connus, l’opération consiste à trouver le troisième qui ne l’est pas.

La division et la multiplication ont toutes deux un quatrième terme, c’est l’unité qui a une place à elle dans leur seconde formule, comme vous l’avez vu (cf. chapitre 5 et chapitre 7, et qui sert à déterminer la proportion entre les trois autres. Elle ne joue aucun rôle dans l’opération, qui s’explique sans qu’il soit question  d’elle.