11 novembre 2012

Unité(s) et nombre(s) - A propos du mot unité en arithmétique élémentaire

Michel Delord : "Certains expliquent que le mot unité a deux sens en mathématiques, qu'il désigne deux choses différentes : par exemple 3 dans 543 et cm dans 7 cm. Sous des formes plus ou moins proches, cette affirmation est très répandue.

   Le fond de mon opinion est le suivant : le mot unité n'a qu'un seul sens.
source de l'image http://machitani.exblog.jp/i30/

   Le fait de lui attribuer deux sens vient d'une autre erreur en général implicite : celle qui consiste à oublier que ce n'est pas unité qui a deux sens, mais 1 qui représente simultanément deux choses, l'unité et le premier nombre
 
   Cet oubli remonte en fait à ce qui est une des positions cardinales des « maths modernes », position qui été défendue comme telle par les partisans de cette réforme, qui a perduré plusieurs dizaines d'années et qui perdure encore. 
   La permanence de ce grave oubli prouve bien que la critique de ce mouvement faite depuis les années 75 jusqu'à maintenant, notamment par les spécialistes de la didactique des mathématiques et de la psychologie cognitive, est une fausse critique.

   Vous trouverez plus d'éléments logiques et historiques sur ces questions - et une proposition d'ouverture de débat - dans le texte « Le mot unité a-t-il deux sens ? »  

Télécharger le texte pdf (clic droit + enregistrer sous)

Pour aborder ces questions, je propose de confronter deux problématiques cardinales - qui s’opposent explicitement puisque la position des maths modernes propose de « rompre avec les instructions de 1945 » qui sur ce point ne diffèrent en rien des précédentes - :
- celle présente dans une présentation classique de la numération et du calcul d’un manuel de CM d’avant la première guerre mondiale, reproduite en A).
- celle des maths modernes que je reproduis infra en B)

A) Brouet et Haudricourt Frères, Arithmétique et système métrique, Cours Moyen, Paris, 1907. Première leçon
ARITHMÉTIQUE - NOTIONS PRÉLIMINAIRES

1. - On appelle quantité tout ce qui peut être augmenté ou diminué, comme une somme d'argent, un nombre d'arbres, la hauteur d'un mur.
2. - L'unité est une quantité connue qui sert à mesurer à évaluer toutes les quantités de la même espèce qu'elle.
Ex. : Si l'on compte les tables de la classe, les arbres de la cour, l'unité est une table, un arbre.
3. - Un nombre est le résultat obtenu en comparant une quantité à son unité. Il est concret s'il désigne l'espèce d'unité, comme 12 litres; il est abstrait s'il ne désigne pas l'espèce d'unité, comme 12.
4. - Il y a trois espèces de nombres :
1° Le nombre entier, qui ne contient que des unités entières : quatre francs : 4 fr.
2° La fraction, qui ne contient que des parties de l'unité : vingt-cinq centimètres : 0m,25; - deux tiers : 2/3.
3° Le nombre fractionnaire, qui est un nombre entier accompagné d'une fraction : trois francs quarante centimes : 3fr. 40 - deux unités un tiers : 2 1/3
5. - L'arithmétique est la science des nombres et du calcul.
6. - Le calcul est l'art de combiner les nombres.


B) Extraits de : La mathématique à l’école élémentaire, Paris, Supplément au bulletin APMEP n° 282, 1972, 502 pages.
I) En fait, c'est bien là qu'est demandée aux maîtres une mutation radicale, qui exigera d'eux de grands efforts de vigilance, de surveillance d'eux-mêmes, une véritable conversion intellectuelle.
Car les naturels ne sont plus liés à la mesure des objets du monde physique et, surtout, les opérations sur les naturels ne sont plus tirées des opérations sur les "grandeurs" du monde physique ou de l'univers quotidien telles que longueurs, poids, prix, capacités. L'abandon des "opérations sur les grandeurs" est bien la mutation fondamentale apportée par les programmes transitoires, c'est lui qui transforme profondément les démarches de la pensée dans l'enseignement élémentaire.

Marguerite Robert, Un nouvel état d’esprit

II) Le nombre naturel

C'est le nombre entier, positif ou nul, de notre enfance. Il résulte de la considération des ensembles, disons, sans inconvénient, des collections d'objets ; c'est par là qu'il faut commencer. Une telle affirmation peut paraître banale. Il faut la répéter. Elle implique une séparation nette entre le nombre utilisé comme cardinal d'un ensemble et le nombre utilisé pour exprimer une mesure ; une séparation, nette et honnête entre : "Il y a 6 crayons sur cette table" et "Ce crayon mesure 6 centimètres".
Rupture avec les Instructions de 1945, qui déclaraient : "On enseignera le décimètre en même temps que la dizaine". On s'interdit d'enseigner le décimètre tant que les enfants risquent de ne pas appréhender les dix segments d'un centimètre, voire de les confondre avec les traits de division qui les limitent (et qui sont 11), et surtout tant qu'ils voient mal le rôle de ces traits lors d'une mesure.
Il faut en outre laisser intacte chez l'enfant l'idée qu'une mesure a bien des chances de ne pouvoir se traduire par un nombre naturel, et qu'il est plus honnête de parler d'encadrements.
Le maître écrit 7cm + 2cm ; il demande de traduire le signe + par ceci : dessiner un segment de 2cm dans le prolongement d'un segment de 7cm qu'il vient de dessiner. C'est beaucoup demander au signe + . Les enfants de Cours Préparatoire, en ce mois de Janvier, ne répondent pas, évidemment, puis docilement disent oui quand le maître termine le dessin. Additionner deux longueurs est une opération mentale plus complexe qu'additionner les cardinaux de deux collections. Les difficultés des enfants viennent de là et un retour aux bûchettes ou aux jetons ne saurait les aider.
Il y a un abîme entre le discret et le continu. Le continu est remis à plus tard : la mesure a disparu du Cours Préparatoire.

P. Jacquemier, Promenade au long du programme du 2/01/1970 et des commentaires qui les accompagnent
 
 
Michel Delord

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Textes et articles :
Maryvonne Hallez et Nicole Nordon, "Un est-il un nombre ?"
Michel Delord, Réponses à Verdurin.
Michel Delord, Réponse à Caliban (18/10/2012)
Michel Delord, Le Bureau International des Poids et Mesures et les UNS
Michel Delord, Trois méthodes pour les changements d'unités
Michel Delord, Cours de maths (cours moyen, collège, formation d'enseignant)



Michel Delord, De la didactique et des grandeurs : le contrat didactique ou comment éliminer les mathématiques, partie D de l'exposé Sur l'enseignement primaire en France (Université Bocconi, Milan, Avril 2002) 
Michel Delord, Michèle Artigue et l'âge du capitaine  
Michel Delord, A propos des nombres concrets et abstraits : Un témoignage historique sur l'école primaire française, 
Michel Delord, A propos de la multiplication  
Michel Delord, Résumé sur la notation « de la multiplication de base »  


Textes sur la notion d'unité : 


Deux textes sur la notion d'unité :

* Ron Aharoni, What I learnt in elementary schools, paragraphe intitulé "What arithmetic should be covered in elementary schools ?"
http://www.aft.org/newspubs/periodicals/ae/fall2005/aharoni.cfm

"Qu'est-ce qui doit être appris à l'école élémentaire en arithmétique ?

La réponse, si simple que c'en est embarrassant, est : les quatre opérations.

Mais cette réponse apparemment simple est trompeuse, de deux façons. Une première raison est qu'il y a en fait cinq opérations. A côté des quatre opérations classiques, il y en a une cinquième, plus basique et plus importante : celle qui consiste à former une unité. Prendre une partie du monde et déclarer que c'est le "tout" (the "whole"). Cette opération est à la base d'une grande partie des mathématiques de l'école élémentaire. Tout d'abord, dans l'action de compter : quand on a une autre unité de même espèce, on dit qu'on en a "deux", et ainsi de suite. L'opération de multiplication est basée sur le fait de prendre un ensemble (a set), de déclarer que c'est l'unité, et de le répéter. Le concept de fraction prend son origine dans le fait d'avoir un tout, duquel des parties sont prises. Le système décimal est basé sur le rassemblement de dizaines d'objets en une unité appelée une "dizaine", et puis sur la répétition récursive de cette action.

La formation d'une unité et le fait de lui donner un nom est quelque chose qui doit s'apprendre et sur laquelle il faut insister énergiquement. J'ai rencontré des enfants en 5th grade (équivalent du cm2) qui savaient comment trouver un quart d'une classe de 20, mais avaient des difficultés à comprendre ce qu'étaient "trois quarts" de la classe, ayant manqué l'étape du processus correspondant de répétition de l'unité dans la multiplication.

Mais il y a une autre raison ...."


* Ch.-A. Laisant, Initiation mathématique de C.-A. Laisant, Chapitre 15 : Comptes ; mesures ; rapports.
Le chapitre 15 : http://ecolereferences.blogspot.com/2011/11/la-cinquieme-operation-le-rapport.html
Les chapitres 1 à 17, 27 à 29, intro et discours final : http://michel.delord.free.fr/lais-init1.pdf

* Un texte de Jean Macé sur les proportions permettant d'approfondir ce que dit Laisant :
http://ecolereferences.blogspot.com/2012/10/les-proportions.html


Images du manuel Delfaut et Millet CM mises en ligne par Catherine Huby (voir ici) :


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