Calcul des monnaies anglaises - Les nombres complexes

Jean Macé Notions d'arithmétique élémentaire

CHAPITRE XII

Calcul des monnaies anglaises -  Nombres complexes

source : http://www.woodlands-junior.kent.sch.uk/customs/questions/moneyold.htm

Les Anglais ont des livres sterling, dont chacune vaut 20 shillings, et chaque shilling vaut 12 pence.

   
    Ce sont là des nombres complexes. Les subdivisions de la monnaie anglaise ne rentrent pas dans le cadre si simple de la numération décimale, comme la monnaie française, par exemple, où le franc se divise en 10 décimes, subdivisés eux-mêmes en 10 centimes. Aussi les sommes énoncées en monnaie française se prêtent-elles aux opérations de l’arithmétique avec la même facilité que les nombres abstraits. 375 et 3 fr. 75 c. se comporteront dans un calcul exactement de la même manière, qu’il s’agisse d’une addition, d’une soustraction, d’une multiplication où d’une division. L’opération faite, le résultat sera ramené d’un trait de plume à sa véritable valeur, au moyen de la virgule.

Il n’en serait pas de même avec 3 livres, 7 shillings, 5 pence. Les chiffres ici ne représentent plus des valeurs de dix en dix fois plus fortes ou plus faibles, selon qu’on va de droite à gauche ou de gauche à droite. Le 7 des shillings représente des valeurs 12 fois plus fortes que le 5 des pence, et 20 fois plus faibles que le 3 des livres, et la virgule, dont le déplacement transforme à si peu de frais 3 fr. 75 c., en 37 fr. 50 c., en 375 francs, cette virgule si commode n’a plus d’emploi possible.

Tout notre système de calcul a l’air de crouler ici par sa base, et pourtant il est plus facile qu’on ne pourrait le croire, au premier abord, de l’appliquer à ces nombres fantasques sur lesquels il semblerait qu’il n’a pas de prise.

Pour s’en convaincre, il suffit de considérer que cette progression régulière des nombres décimaux ne les empêche pas de représenter des valeurs différentes; que dans tous les calculs d’addition, simple ou abrégée, les dizaines, par exemple, se groupent à chaque instant pour produire des centaines ; que dans tous les calculs de soustraction, simple ou abrégée, les centaines se décomposent à leur tour pour produire des dizaines, et qu’il en est ainsi pour les unités de tout ordre. Rien de plus aisé que de mettre les nombres complexes à ce régime, si l’on veut se donner la peine de les suivre dans leurs caprices.

Soit à additionner[1] :

 

Vous ne reconnaissez rien à ce total. Examinons comment il a été obtenu :

L’addition des pence a donné 20, à savoir 1 shilling et 8 pence.

L’on a mis 8 sous la colonne des pence, et l’on a reporté 1 à la colonne des shillings, comme dans l’addition ordinaire, avec cette différence que c’est une douzaine qui a été reportée, au lieu d’une dizaine.

Les 21 shillings, total de 7, 9 et 5, augmentés de l’unité venue de la colonne des pences, ont fait 22, à savoir 1 livre et 2 shillings.

L’on a posé 2 et augmenté d’une unité le total des livres sterling : 3, 2 et 4 = 9 ; 9 + 1 = 10.

L’on s’y prend de la même façon pour la soustraction.

Retranchons l’un de l’autre nos deux premiers nombres :

 Ici nous avons opéré comme à l’habitude, avec cette différence qu’au lieu d’emprunter des dizaines et des centaines, nous avons emprunté des douzaines et des vingtaines.

Les 12 pence du shilling emprunté joints aux 5 existants ont fait 17, réduits à 10 par la soustraction de 7.

Il ne restait plus que 6 shillings au grand nombre. Ils sont devenus 26 par l’emprunt d’une livre, 26 diminué de 9 a donné 17.

Les 3 livres réduites à 2 ont été annulées par les 2 du petit nombre. Il y a un zéro à la colonne des livres.

Les choses se sont passées, en définitive, comme pour une soustraction ordinaire.

La multiplication des nombres complexes se fait par une série de multiplications, avec un report semblable à celui de l’addition, par chaque produit partiel.

Soit £ 3 7 sh. 5 p. à multiplier par 6 :

£   3.7.5

           6

£ 20.4.6

6 fois 5 pence donnent 30 pence, à savoir 2 shillings et 6 pence.

6 fois 7 shillings donnent 42 shillings qui deviennent 44, grâce aux 2 venus des pences. Cela fait 2 livres et 4 shillings.

6 fois 3 livres font 18 qui deviennent 20, grâce aux 2 venues des shillings.

Les choses se sont passées encore cette fois comme dans la multiplication ordinaire, qui se fait aussi par une série de multiplications partielles, avec reports d’une colonne à l’autre.

La division des nombres complexes reproduit également celle des nombres décimaux. Comme avec ceux-ci, elle commence par les valeurs supérieures du dividende se réunissant à leurs voisines si leur chiffre est insuffisant pour contenir le diviseur.

Si l’on avait affaire au nombre décimal 375, les 3 centaines se changeraient en 30 dizaines qui feraient 37 avec les 7 dizaines existantes. L’on dirait 6 est contenu dans 37, 6 fois pour 36, et il resterait 1 dizaine qui se transformerait en 10 unités.

Ici les 3 livres sterling sont devenues 60 shillings qui ont fait 67 avec 7 shillings existant.

L’on a dit 67 contient 11 fois 6 pour 66 shillings et il reste un shilling qui se transforme en 12 pence devenus 17 avec les 5 pence existant.

6 est contenu 2 fois dans 17 pour 12. Restent 5 pence dont on fait 5/6 de pence pour compléter le quotient.

Il faut renoncer aux fractions décimales avec les nombres complexes, mais il ne faut pas oublier qu’il y a des cas de divisions ordinaires, celui des décimales périodiques par exemple, où l’on se rabat aussi sur une fraction ordinaire pour compléter le quotient.

L’addition, la soustraction, la multiplication et la division des nombres complexes peuvent encore se faire en employant le procédé qui nous a déjà servi pour le calcul des intérêts (voir ici) : convertir en jours les mois qui appartiennent aussi à la catégorie des nombres complexes, et prendre l’intérêt des jours.

On peut convertir les livres en shillings, les shillings en pence, additionner les pence qui retombent, étant seuls, dans les conditions des nombres décimaux, les soustraire, les multiplier, les diviser à la manière ordinaire. Les résultats obtenus sont ensuite ramenés aux conditions des nombres complexes, en divisant les pence par 12 pour en extraire ce qu’ils contiennent de shillings, et les shillings par 20, pour en extraire ce qu’ils contiennent de livres.

Essayez de ce procédé sur les trois nombres que nous avons additionnés en commençant :

Vous arriverez au total que nous avons obtenu 10.2.8 et de même pour les autres opérations.

Ce procédé-là est plus long et plus compliqué que l’autre. Je vous l’indique seulement pour mémoire. Il est inutile de vous dire que les calculs faits tout à l’heure avec les livres sterling, les shillings et les pence peuvent se faire avec tous les nombres complexes quels qu’ils soient. C’est trop facile à comprendre.

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[1] Les Anglais emploient le signe £, mis en avant du nombre, pour indiquer qu’il exprime des livres sterling. Les chiffres des shillings et des pence viennent à la suite, séparés chacun par un point.